小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用.pptVIP

小专题(八)　 教材P90习题第14题的变式与应用 【例】　(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状，并证明你的结论． 证明：因为∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC， 又因为∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°. 于是∠ACB＝60°.所以△ABC为等边三角形．　 1．如图，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状并证明你的结论． △ABC是等腰三角形，理由：因为∠CPA＝∠ABC，四边形APBC是圆内接四边形，所以∠EPA＝∠ACB.因为∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．　 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB＝DC.求证：AD是△ABC外角∠EAC的平分线． 证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又∠DAE＋∠DAB＝180°，∴∠DCB＝∠EAD.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴AD平分∠EAC.　 3．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD. (1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形． 4．如图，△ABC内接于⊙O，P为弧AB上异于A，B两点的一动点时，当△ABC满足什么条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由． 当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°， ∠ACB＋∠APB＝180°，∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.　 5．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？ (2)如图2，若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时，AE与△ABC的两边AB，AC又有怎样的关系呢？ 6．如图，平面直角坐标系中，O′为y轴上一点，⊙O′交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA与FH的比值是否为定值？并说明理由． 7．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC. (1)求证：BD＝DC＝DI； (2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°， 求△BDC的面积． (1)证明：∵AI平分∠BAC，∵∠BAD＝∠DAC，∴BD＝DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI.∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，∴∠BAD＝∠DBC.又∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，∴∠DBI＝∠DIB.∴△BDI为等腰三角形．∴BD＝ID，∴BD＝DC＝DI.