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HPM视角下初中、高中、大学教科书函数定义的初探 郑文晶 呼伦贝尔学院数学与统计学院 X 关注成功！ 加关注后您将方便地在 我的关注中得到本文献的被引频次变化的通知！ 新浪微博 腾讯微博 人人网 开心网 豆瓣网 网易微博 摘????要： 函数是数学中最基本的概念, 函数知识贯穿于初中数学的始终, 是高中数学的核心内容, 在大学阶段, 仍发挥着重要作用, 本文在HPM视角下, 从历史“发生原理”入手, 对现行的初、高中和大学高等数学教材中函数的定义的表达形式提出自己的一些看法。 关键词： HPM; 数; 演变历史; 教材; 作者简介：郑文晶 (1964-) , 女, 蒙古族, 呼伦贝尔学院数学与统计学院教授。研究方向:函数论和数学史融入数学教学的研究。 收稿日期：2017-07-13 Received： 2017-07-13 引言 函数概念是初中、高中、大学阶段数学教学最重要的基本概念之一, 初中学过的函数及其图像的基础上, 到高中通过集合元素的对应关系, 加深了对函数概念的再认识, 到大学在高等数学的学习中, 学生再一次接触到函数概念, 而在现行的高等数学教材中, 函数定义的表述既不同于初中的定义, 也不同于高中的定义, 就其函数的本质来说高于初中定义, 低于高中定义, 在初中、高中和大学不同版本的教材中给出的函数定义各有不同, 给学生造成了很大的困惑, 本文在HPM视角下, 从历史“发生原理”入手, 对现行的初、高中和大学教材中函数的定义的表达形式提出自己的一些看法, 以期与同行进行探究。 1. 数学史融入数学教材 数学史研究一般具有三重目的:历史的目的, 即恢复历史的本来面目;数学的目的, 即古为今用, 为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴;教育目的, 即在数学教学中利用数学史。1972年, 在英国Exerter召开的第二届国际数学教育大会上, 成立了数学史与数学教学关系国际研究小组 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称HPM) , 1976年开始隶属于国际数学教育委员会, 自此, 数学史与数学教育的关系成了数学教育的重要研究领域之一。[1]早在19世纪, 数学史与数学教育之间的关系就被西方数学史家和数学教育工作者所认识, 这种认识似乎又与18世纪的一种教育理念密切相关:法国实证主义哲学家, 社会学创始人孔德 (A.comte, 1798-1857) 提出, 对孩子的教育在方式上和顺序上都必须符合历史上人类的教育, 因为个体知识的发生与历史上人类知识的发生是一致的, 英国著名数学家德摩根 (A.De Morgan, 1806-1871) 强调数学教学中应遵循历史次序, 法国著名数学家庞加莱 (H.Poincare, 1854-1912) 在出版于1908年的《科学与方法》中认为数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给学生。[9] 目前数学史融入数学教材也引起了国内的足够重视, 三角函数的定义用坐标定义法取代终边定义法, 是数学史融入数学教材成功的例子, “数学史融入数学教材”是人民教育出版社课程教材研究所“十二五”规划课题。[3] 数学史融入数学教材的重要依据之一是历史发生原理, 即个体对数学概念的认知发展与该概念的历史发展过程具有一定的相似性, 历史上数学家所遭遇的困难正是学生所经历的障碍。因此庞加莱说:“教育工作者的任务就是让儿童的思维经历其祖先之所经历, 迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段;鉴与此, 数学史应该是我们的指南。”[1]函数概念的发展历经了300年, 要想真正理解函数概念, 掌握函数概念的本质, 需要从函数发展历史来了解函数。 2. 函数概念的历史演变 16世纪, 由于对物体运动的研究, 人们开始转入对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究, 因而作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映在数学中就产生了变量与函数的概念, 特别是进入17世纪以后, 笛卡尔引入了直角坐标与变量使数学发生了巨大变革, 笛卡尔引入变量之后, 紧接着出现函数概念。 函数 (function) 这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹 (Liebniz, 1646--1716) 首先采用的, 中译名“变量”, “函数”是清代数学家李善兰在《代微积拾级》一书中给出的, 函数符号f (x) 是欧拉在1734 (L.Euler, 1707--1783) 年引入的, 由于微积分的发展, 函数概念也不断地演变, 日益深化, 致使函数概念日益精确化, 科学化, 函数概念的形成是经历了漫长的时间和挫折的, 其演变过程分为以下几个阶段: 2.1 作为