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离散广义线性系统的稳定性分析梁家荣1,应益荣2(1广西大学计算机与信息工程学院,广西南宁530004;2西北建筑工程学院基础科学系,陕西西安710061)摘要:研究了离散广义线性系统的稳定性问题.利用等价变换和等价系统的方法,给出了其平衡态稳定取决于其系数矩阵的标准型中的谱Ρ(A1)的元素均在单位圆内等几个充要条件,对扰动的离散广义系统给出了其鲁棒稳定的判别条件.关键词:离散广义系统;线性系统;渐近稳定性;正则性;鲁棒稳定性中图分类号:O231;TP13文献标识码:A文章编号:100123857(1999)0420017205稳定性是系统的一个重要特性,对系统运动稳定性的分析是系统与控制理论的一个重要组成部分.一个系统是否稳定会影响到系统的具体实施,对古典系统的稳定性的研究,已有较为成熟的结果.但对广义系统的稳定性的研究尚属初步,且更多的是集中在连续广义系统1.如Pandolfi2讨论了广义特征根具有负实部的渐近稳定性,HansengWu3对一般非线性广义系统的稳定性进行过讨论,但条件过于超越,难以实现.鉴于广义系统不仅具有有穷运动模式而且还具有无穷运动模式,国内王朝珠、戴立意4、张庆灵5讨论了广义系统的结构稳定性,但对离散广义系统稳定性研究得较少,只有文献6讨论过其广义Lyapunov方法,但条件较强,难以验证.考虑到离散系统在控制及工程实际中的广泛性,本文首先给出离散广义系统的渐近稳定性的定义,然后根据离散广义线性系统的等价变换和等价系统给出其渐近稳定的判别准则,为广义系统理论增添新的内容.1离散广义线性系统的稳定性考虑离散广义线性系统Ex(t+1)=Ax(t),(1)其中x(t)是(1)的n维状态变量,E和A为n×n的实常矩阵,detE=0.假定广义系统(1)是正则的,即存在s∈C,使得(sE-A)可逆.定义1设x(t)是(1)的解,如果limx(t)=0,则称(1)的零解是渐近稳定的.t→∞定理1离散广义系统(1)的零解x=0渐近稳定的充要条件是存在非奇异矩阵P和Q,使得收稿日期:1999205227基金项目:广西大学博士科研启动基金资助项目作者简介:梁家荣,男,33岁,副教授,博士陕西师范大学学报(自然科学版)第27卷18I10A100N0I2(2)QEP=,QAP=,(3)为幂零矩阵,且对于任意的Κ∈Ρ(A1)有Κ1,这里A1为r×r矩阵,Ii为ni×ni阶单位矩阵,Ni=1,2,n1=r,n2=n-r.x(1)x(2)(t)(t)=P-1x(t),则离散广义系统证明充分性:假设存在P,Q使(2)、(3)成立,令(1)受限等价于(1)((1)())xt+1=A1xt,()4(2)((2)())()Nxt+1=xt.5(1)()因为Ρ(A1)={u1∶u11},由文献6可知(5)是渐近稳定的,即limxt=0.此外,由(5)t→∞可知x(2)(t)=Nkx(2)(t+k)=0,故limx(t)=0,即离散广义系统(1)的零解是渐近稳定的.t→∞必要性:因为(E,A)正则,故存在非奇异矩阵P,Q,使0NA100I2I10QEP=,QAP=.故离散广义系统(1)受限等价于(4),(5).若离散广义系统(1)的零解是渐近稳定的,则ΠΚ∈Ρ(E,A)={Κi‖ΚiE-A=0}H,这里H={uu1}.此外ΚE-A=Q-1(QΚEP-QAP)P-1=I100NA100I2P-1=QΚ-Q-1ΚI1-A1ΚN-I2P-1.注意到(ΚN-I2)可逆,从而ΚN-I2≠0,故det(ΚE-A)=0等价于ΚI1-A1=0,因而Ρ(A1)的元素均在单位圆内,必要性得证.由离散广义系统的正则性,易知(1)受限等价于(4),(5),由定理1的证明可得.定理2若离散广义系统正则,则离散广义系统(1)的零解渐近稳定的充要条件是:Ρ(A1)H.若离散广义系统(1)无脉冲行为,且子系统x(1)(t+1)=A1x(1)(t)是渐近稳定的,推论1则离散广义系统(1)的零解是渐近稳定的.证明若(1)无脉冲行为,则Nk≡0,显然N是幂零矩阵,因为x(1)(t+1)=A1x(1)(t)的零解渐近稳定,从而Ρ(A1)H.由定理2知结论成立.定理3离散广义系统(1)的零解渐近稳定的充要条件是:存在矩阵P=(P1,P2),Q=Q1Q2,使得(i)Q2EP2为幂零矩阵;(ii)Ρ(Q1AP1)H,Qi,Pi分别为ni×n和n×ni矩阵,i=1,2,n1=r,n2=n-r.证明由(E,A)的正则可知P,Q存在,令第4期梁家荣等:离散广义线性系统的稳定性分析19Q1Q11Q12=Q2Q21Q22Q=,P11P12P21P22(P1,P2)=P=.A100I1因为=QEP,所以=QAP,0I20NA1=(Q11A11+Q12A12)P11+(Q11A12+Q12A22)P21