电磁场的不变量的求证方法讨论.docxVIP

第 22 卷第 2期大 学 物 理Vol. 22 No.22003 年 2月COLL EGE PHYSICSFeb. 2003电磁场的不变量的求证方法讨论刘裕光,张宝峰( 天津大学 理学院 ,天津 300072)摘要 :用几种不同的方法对电磁场的不变量进行了求证和讨论,指出每种方法都可以归结为利用四维协变张 量元素本身构造出洛伦兹不变量.关键词 :电磁场 ;四维协变张量;洛伦兹不变量中图分类号 : O442文献标识码 :A文章编号 : 100020712 (2003)0220025202电磁场的不变量是指 B 2 - 1c2E2 和 B ·E ,它们在把对应的电磁场场量代入 ,结果为 : B 2 -1c2E2.四维空间“转动”(洛伦兹变换) 下保持不变,故称为洛式(1)为不变量,证明如下:伦兹标量或不变量[1] ,这两个不变量的直接意义是表F2 = F F=αα F′α α F′=δ δF′F′=μνμνμνμανβ αβμλντ λταλβταβλτ明真空中的平面电磁波(|B|=|E|/c和B·E=0)在所有的惯性系中仍为平面波.对这两个不变量证明的依据是电磁场张量0B3- B2- i E1Fα′βFα′β= F′2 =不变量μν我们在教学中发现 ,利用四维协变张量自身作二 次点乘 ,也得到上面的结果,即2c- 1 spur[ ( Fμν) ( Fμν) ] = - 1 ( F21 + F F +- B30B1- i E22112 212Fμν=cB2- B10- i E3cF13 F31 + F14 F41 + F21 F12 + F22 + F23 F32 +2F24 F42 + F31 F13 + F32 F23 + F33 + F34 F43 +i E1iccE2icE30F41 F14 + F42 F24 + F43 F34 + F24 ) = B 2 - E42c2(2)是一个四维协变张量 ,在惯性系变换下满足变换关系,γ00iβγFα′βFβ′α=F′μνFν′μ=不变量0100求证另一个不变量,仍然可以由电磁场张量这个0010四维协变张量来构造成洛伦兹标量,为此还需要引入-iβγ00γ一个赝张量,它定义为:F′μν=αμλαντFλτ,变换系数矩阵α=式(2)为不变量,证明如下:FμνFνμ=αμαανβFα′βανλαμτFλ′τ=δατδβλFα′βFλ′τ=其中 β= v/ c ,γ=1/1 - v2 / c2 , 方阵 α的行列式det(α) = 1 ,且有αμναμλ=δνλ.下面我们采用不同方法求出这两个不变量 ,再给 以证明和讨论,首先利用指标收缩,可以由四维协变张 量元素本身构造成洛伦兹不变量,εμνλτ= 0 (如果μνλτ中有两个指标是一样的)εμνλτ= 1 ( 如果μνλτ可以用偶数次的对调变为1234)εμνλτ= - 1 ( 如果μνλτ可以用奇数次的对调变为1234)我们称它为赝张量是因为在惯性系变换下 ,它是1212=212Fμν( F11 F11 + F12 F12 ++ F44 F44 ) =一个“数值不变”的张量[ 2 ] ,证明如下:因122 (F22222+F+F+F+ F2 ) (1)det (α) =α1αα2βα3γα4δεαβγδ,ε′μνλτ=αμαανβαλγατδεαβγδ34收稿日期 :2001 - 04 - 11 ;修回日期 :2002 - 04 - 10作者简介 :刘裕光(1947 —) ,男(回族) ,天津人 ,天津大学理学院应用物理系副教授,硕士.26大 学 物 理第 22卷注意到 αμαανβαλγατδεαβγδ也是一个行列式 , 根据行列式交换行(列)时变号之性质,可有∥和 ⊥分别表示与相对速度 v 平行和垂直的分量 ,那 么我们利用这些场量之间的变换关系也可以证明在任ε′μνλτ=αμαανβαλγατδεαβγδ=α1αα2βα3γα4δεμνλτεαβγδ=det(α)εμνλτ=εμνλτ意惯性系上 B 2 - 1c2E2 和 B·