线代知识点总结－数学 线性代数知识点、难点.docVIP

线性代数知识点、难点1、阶行列式的定义 对于阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的个元素构成，一个阶行列式共有项。乘积项为的符号取决于的逆序数，即当为偶排列时取正号，当为奇排列时取负。 行列式 为二阶行列式，每一项由2个元素构成，第一项为，符号为正，第二项为1*2，符号为负。 2、余子式和代数余子式 余子式和代数余子式的概念容易出错，在计算中应注意。代数余子式，其中为余子式。一般这类题，重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。下面请看一例： 设行列式 则第4行元素余子式之和的值为__________ 【分析】 部分考生答案为0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为0。因为 。 3、行列式按一行（列）展开 设，则 或 注意：公式中使用的是代数余子式，而不是余子式。 4、行列式的计算 行列式的基本计算方法有三个： 归化 利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式（如三角行列式等）； 降阶 利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。 在实际计算过程中，往往两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出 尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则，计算过程往往会变得相当繁琐。 递推 在降阶中找出高阶行列式与低阶行列式（，通常是）的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得。 记行列式为，则方程的根的个数为＿。 解析 问方程有几个根，也就是问是的几次多项式。不要错误 地认为这样的一定是4次多项式 ，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。 由于行列式的每一个位置都含有，若立即展开处理是不妥的，应当先利用 性质恒等变形消去一些再展开。将第1列的-1倍依次加至其余各列，有 易见是二次多项式。 ＿。 解析 方法1 方法2 解本例的方法有典型性，大家应熟练掌握。 5、矩阵的概念 矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。 ：矩阵和矩阵必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。如。 只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。 矩阵的数乘表示对矩阵中的每一个元素都乘以。注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。 矩阵的乘法必须要求的列数等于的行数。 矩阵的乘法一般不满足交换律，即。例如：，，。对于某些矩阵，即使与都有意义，它们仍不一定相等。如，，与都有意义，但为矩阵，而为矩阵，显然不相等。 当和均为矩阵时，。行列式是数，可以交换。 有矩阵乘积，不能推出或。等价地说，且，有可能使，如上例。 矩阵的乘法不满足消去律，即时，有，但。只有当为非奇异矩阵，即时，若，则必有。若，则必有。 设4阶矩阵，，其中是4维列向量，且，，则＿。 解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质。 由于，所以 部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆，得出错误结论。 设是3阶方阵，是的伴随矩阵，的行列式，求行列式的值。 解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。 由于，故，故 不少考生把错误地写成，把错误地写成 。 6、关于 是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型。它的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生要掌握其基本思路。下面举两例说明： 设是阶非0矩阵，满足，且，证明行列式。 【证法一】（反证法）若，那么可逆。用左乘的两端，得与矛盾，故。 【证法二】（用秩）据已知有，那么 因为，即，那么秩从而秩，故。 【证法三】（用有非零解）据已知有，即的列向量是齐次方程组的解，又因，所以有非零解，从而。 注解 是考研题中一个常见的已知条件，对于应当有两种思路： 设是矩阵，是矩阵，若，则 （1）的列向量是齐次方程组的解 （2） 设为阶矩阵，满足，，证明。 【证明】因为 所以 又因于是 故必有 7、伴随矩阵 伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点多结合逆矩阵，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，考生应熟记它的定义和基本性质，以不变应万变。涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式及伴随矩阵的相关结论着手分析。 以下结论可以直接使用： 设为阶非零矩阵，是的伴随矩阵，当时，证明。 证明 由，及，有。 若，则，设的行向量为，则，即，于是，与已知矛盾，故。 设矩阵满足，其中是的伴随矩阵，若为三个相等的正数，则=＿。 解析 题设与的伴随矩阵有关。 由，及，有，且 或， 而，于是，且。 8、逆矩阵 涉