固体物理精品教学（华南理工大学）固体物理-第三章 晶格振动和晶体热学性质（2）.pptVIP

§3-4 三维晶格的振动 双原子链的模型已比较全面地表现了晶格振动的基本特征，这一节以对比双原子链的方法来说明三维晶格的振动 考虑原胞含有 n 个原子的复式晶格, n 个原子的质量为m1, m2, …, mn , 原胞以 l (l1 l2 l3) 标志, 表明它位于格点 1. 运动方程与振动模式数 原胞中各原子的位置用 表示 偏离格点的位移则写成 和双原子链的情形一样, 可以写出一个典型原胞中的运动方程 其中 k 标明原胞中的各原子, k =1, 2, …, n. α代表原子的三个位移分量, 方程右端是原子位移的线性齐次函数 指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式, q 是其波数矢量 方程解的形式和一维完全相似，可以写成 A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), …可以是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别 上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式 同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , …, Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程 它的有解条件是 ω2 的一个 3n 次方程式,从而给出了 3n 个解 ωj ( j = 1, 2, …, 3n) 具体分析证明, 当 q→0 时, 有三个解 ωj∝q, 且对这三个解 A1, A2,…, An 趋于相同, 也就是说在长波极限整个原胞一齐移动。这三个解实际上与弹性波相合 所以在三维晶格中, 对一定的波矢 q, 有 3 个声学波, (3n－3) 个光学波。或者说有 3 支声学波, (3n－3)支光学波 另外(3n－3)个解的长波极限描述 n 个格子之间的相对振动, 并具有有限的频率 问题：晶体的格波有几支声学波，几支光学波？ NaCl 晶体？ 金刚石？ CsCl? 在三维情形 q 同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的 “q 空间”以倒矢量 b1, b2, b3为基矢, 即 q 写成 的形式 常引入 “q 空间”来表示边界条件所允许的 q 值, 即把 q 看作空间的矢量, 而边界条件允许的 q 值将表示为这个空间中的点 2. 玻恩－卡曼边界条件与布里渊区 仍采用玻恩－卡曼边界条件，在三维情况下 其中 a1、a2、a3 为晶格基矢, N1、N2、N3 为沿三个基矢方向的原胞数, 显然有晶体总原胞数N=N1N2N3. μ(Rl) 代表 Rl 格点上原胞的位移 边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3) 边界条件要求 h1 、h2、 h3为整数, 因此 它们代表 q 空间均匀分布的点 每个点占据的 q 空间体积 考虑到倒格子原胞的“体积”与正格子原胞的体积之间的关系, 可以得到边界条件允许的 q 在 q 空间均匀分布的密度： V 为晶体的体积 从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子 如果 q 改变一个倒格子矢量 (n1, n2, n3为整数), 则由于 是 2π的整数倍, 并不影响上述位相因子 这表示为了得到所有不同的格波, 也只需要考虑一定范围的 q 值, 例如可以只考虑一个倒格子原胞中的 q 值 由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2π)3, 因此不同 q 的总数应当是 和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个声学波, (3n－3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是 正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明,上述的格波已概括了晶体的全部振动模 但是把 q 的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方便的, 通常是选为第一布里渊区(也称简约布里渊区) 做由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面, 由这些平面所围成的最小体积就是第一布里渊区 可以证明第一布里渊区的体积等于倒格子原胞的体积,第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点 ωj(q) 作为 q 的函数称为晶格振动谱, 或称为格波的色散关系, 它可以通过实验的办法测量得到, 也可以根据原子间相互作用力的模型从理论上进行计算 由理论与实验的比较中获得对相互作用力的认识 共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等由于它们的原子间相互作用力有着不同的特点, 因而在格波的谱上也有着相应的特征 3. 晶格振动谱 三维晶格还