课题学习：最短路径问题5.ppt

1.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短 第十三章 轴对称 课件说明 引言： 　 前面我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中，线段最短” （两点之间，线段最短． ） 2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题”． 如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？ ① ② ③ 两点之间,线段最短 (Ⅰ)两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 A . .B P 思考:为什么这样就能得到 最短距离呢？ 根据：两点之间线段最短. 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 应用 A B l B′ P 点P的位置即为所求. M 作法：① 作点B关于直线l的对称点B′. ② 连接AB′,交直线l于点P. (Ⅱ) 两点在一条直线同侧 已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小. 为什么这样做就能得到最短距离呢？ MA + MB′PA+PB ′ 即MA + MB′PA+PB 三角形任意两边之和大于第三边 比一比，谁想的最快： 问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ B A l 　　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ B A l 　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． B · · A l (Ⅲ)一点在两相交直线内部 已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. B C D E 分析：当AB、BC和AC三条边 的长度恰好能够体现在一条 直线上时，三角形的周长最 小 ? 运用新知 　　练习　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． A B C P Q 山 河岸 大桥 思考：运动路径中，哪一段路径是恒定不变的？？？ 运用新知 　　基本思路： 　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最 小”． A B C P Q 山 河岸 大桥 问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？ （假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） A O B Ｃ. . E D M N G H F A O B D · · C E G H A B A/ B/ P Q 最短路线：A P Q B l M N 布置作业 教科书复习题p92: 7、10、11、13、15题．