第1_2节__多项式插值_Lagrange插值.ppt

第二章 代数插值 §1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式 §3 差商及Newton插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条(Spline)插值多项式 §1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式 一、线性插值（n=1） 二、抛物线插值（n=2） 三、n 次Lagrange插值多项式 四、插值余项（误差估计） 本节(§2 )要点 * 某化学反应中,在有限个时刻t(min)，测得生成物质量浓度y(10-3g/cm3)的如下数据 那么在时刻t=5min，t=18min时的浓度是多少？ 10.61 10.53 10.42 10.33 9.86 9.53 8.79 8.01 6.41 4.00 yi 16 14 12 10 8 6 4 3 2 1 ti 本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。 用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域,但在实际问题中,往往是通过实验、观测以及计算等方法,获得函数在一些点上的函数值。如何通过这些离散数据找出函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如： 设函数 y=f(x)在区间[a,b]连续, 给定n+1个点 已知 f(xk)=yk (k=0,1,…,n) ,在函数类中寻找一函数φ(x) 作为 f(x) 的近似表达式,使满足 这时称 y=f(x)为被插值函数, φ(x) 称为插值函数, xk 称为插值节点,式(2.2)称为插值条件,寻求插值函数φ(x) 的方法称为插值方法. 一、插值问题 a≤ x0 x1 … xn≤b (2.1) φ(xk)=f(xk)=yk , k=0,1, … ,n (2.2) 在构造插值函数时，函数类的不同选取, 对应着各种不同的插值方法，这里我们主要研究函数类P是代数多项式，即所谓的多项式插值问题。 多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲线 y=pn(x) 通过n+1个点(xk , yk) (k=0,1,…,n)作为 f(x) 的近似(如下图). 二、多项式插值问题 (2.4) 设 pn(x)=a0+ a1x+…+an xn ，当满足如下的插值条件时，即 得到关于系数 a0、 a1、… 、an 的线性方程组 pn(xk) = f(xk) = yk , k = 0,1, … ,n (2.3) 其系数行列式为Vandermonde(范德蒙)行列式 只要 i≠j 就有xi ≠ xj ,因而 V(x0,x1,…,xn) ≠0 ,于是方程组(2.4)有唯一解,也就是说,当节点不重合时, n+1个节点的插值条件能唯一确定一个n次插值多项式,从而有: 定理2.1 给定n+1 个互异节点 x0 , x1 , … , xn 上的函数值y0 , y1 , … , yn ,则满足插值条件 　　 pn(xk )=f(xk )= yk , k=0, 1, … ,n 的n 次插值多项式 pn(x) 存在且唯一。 这样只要求解方程组 拉格朗日插值多项式 牛顿插值多项式 3. 分段线性插值多项式 4. 三次样条插值多项式 便可确定插值多项式 pn(x) ，但相对来讲计算较复杂。而插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法获得满足插值条件的多项式都是同一个多项式 pn(x) ，因此可以采用其它更简便的方法来确定多项式。下面就介绍几种常用的方法： (2.4) 的函数值 已知 y=f(x) 在n+1 个点 构造n次多项式 pn(x) ,使得 从而得到 f(x) 的近似计算式 求解 L1(x)=a1 x+a0 已知 使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1]. 根据点斜式得到 如果令 则称 l0(x) , l1(x)为一次插值多项式的基函数。这时： 并称其为一次Lagrange插值多项式。 f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x) 求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0 使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2]. 关于二次多项式的构造采用如下方法：令 已知 并由插值条件 得到 L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1) L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 于是得到 则有 f(x) ≈ L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x)