一道双曲线问题的分析.docVIP

精品论文 参考文献 一道双曲线问题的分析 王志祥 山东省德州一中 在教学过程中，常发现很多问题之间存在若隐若现的内在联系。如能对所做的问题进行积极思考和深入分析，辨清问题间的内在联系，对开阔学生思路、培养解题能力有很大的帮助。下面就一道双曲线问题举例说明。 例题：经过双曲线上任意一点作平行于实轴的直线与双曲线两条渐近线交于 Q、P两点（见图 1）。求证：|PQ|middot;|PR|为定值。 证：不妨设双曲线的方程为 x 2222y.＝1（a＞0，b＞0）。ab 22 在双曲线上任取一点 P（x0，y0），则有 xa 0 . yb 0 =1，即：22 2 x02 .a2 by 20 =a2 。 因为，双曲线的渐进线方程为 x＝plusmn;ay/b，且 PQ与 x轴平行。所以，P、Q、R纵坐标相同，且横坐标分别为 x0，ay0/b，－ay0/b。所以，|PQ|middot;|PR|＝|x0－ay0/b|middot;|x0＋ay0/b|＝ x a y / b220220.＝a2（定值）。如果改变问题中的条件，容易得到：［推论 1］经过双曲线上任一点 P作为平行于双曲线虚轴的直线与其渐近线分别交于 Q、R两点，则|PQ|middot;|PR|为定值。 证：不妨设双曲线的方程为 x2 . y 2 =1（a＞0，b＞0）。a2 b2 在双曲线上任取一点 P（x0，y0），则有 ax022 . by022 =1 。 即 y02 .b2 y 20 2 =b2 。a 因为，双曲线的渐进线方程为 y＝plusmn;by/a，且 PQ与 y轴平行。所以，P、Q、R横坐标相同，且纵坐标分别为 y0，bx0/a，－ax0/a。 所以，|PQ|middot;|PR|＝|y0－bx0/a|middot;|y0＋bx0/a|＝ y / 2220220babx=.（定值）。［推论 2］过双曲线上任一点 P作倾斜角为 alpha;（定值）的直线 l与双曲线两渐近线交于 Q、R，则|PQ|middot;|PR|为定值。 证：不妨设双曲线的方程为 ax22 . by 22 =1（a＞0，b＞0）。 则其渐近线方程为 bxplusmn;ay＝0。 设 P（x0，y0）是双曲线上的点，则过 P的直线 l的参数方程为 .. x=x0 +t cosalpha; .y = y +t sin alpha; 由 b（0x0＋tcosalpha;）plusmn;a（y0＋tsinalpha;）＝0 00 00可得 t1＝ .a sin bx alpha;++ bay cosalpha;，t2＝ a sin bx alpha;..bay cosalpha; bx0 +ay0 bx0 .ay0 所以，|PQ|middot;|PR|＝ a sinalpha;+b cos alpha; a sinalpha;.b cos alpha; 22 22bx .ay 0 ＝ 222222ab（定值）22 22 a sin alpha;0.b cos alpha; a sin alpha;.b cos alpha; pi; ＝ 不难看出，前面两个问题是一般结论中 alpha;＝0， 2 的情况。 仔细分析这个问题，在一般结论中，两条渐近线在坐标系中的位置是确定的，题中 l的倾斜角也不变。由此知 l与两渐近线所成的角也是恒定不变的，不妨用 beta;，gamma;表示 l与两条渐近线所成的角， d1，d2表示 P点到两条渐近线的距离，如图 2所示，则有： d1＝|PQ|sinbeta; d2＝|PR|singamma; d1d2＝|PQ|middot;|PR|middot;sinbeta;middot;singamma; 既然当 alpha;为定值时， |PQ|middot;|PR|及 beta;，gamma;为定值，从而 d1middot;d2也为定值。由此得： ［推论 3］双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值。 若考虑推论 3的逆命题，还可得到： ［推论 4］若平面内点到两条相交直线距离之积为非零常数，则该点轨迹为双曲线。 证：以两条相交的定直线的角平分线为坐标轴建立坐标系（图略）。不妨设两条相交直线方程分别为 kx－y＝0，kx＋y＝0点 P的坐标为（ x，y），P到两条相交直线的距离分别为 d1，d2，则： 22kx .y kx +y kx .1 =m （定值）. = 2dd1 . 2 = k2 +1 k2 +1 k +1