23空间向量及其运算.docVIP

3. 空间向量及其运算 知识网络 　　　　　　　　 空间向量及其运算结构简图 画龙点晴 概念 空间向量: 在空间, 具有大小和方向的量叫做向量. 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 空间向量的加法、减法和数乘向量运算： 与平面向量一样，空间向量的加法、减法和向量数乘运算如下： ； ； 空间向量的加法、减法和数乘向量运算满足以下运算律： 加法交换律：； 加法结合律： 数乘分配律：. [活用实例] [例1]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A．- B. C. D. - [题解] ==-. 故选 A. 共线向量: 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. 平行记作. 定理 共线向量定理: 对于任意两个向量,的充要条件是存在实数, 使. 推论: 如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线, 那么对任意一点O, 点P在直线上的充要条件为存在非零实数, 使, 此式也叫做空间直线的向量的参数表示式. 概念 向量与平面平行: 已知平面与向量, 作,如果直线OA平行于平面或在平面内, 则称向量平行于平面, 记为. 共面向量: 平行于同一平面的向量称为共面向量. 定理 共面向量的定理: 如果两个向量不共线, 则向量与向量共面的充要条件是存在实数使. 推论: 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是: 存在有序实数对使或对空间任一点O, 有. 空间向量基本定理: 如果向量不共面, 那么对空间任意一个向量, 存在一个唯一的有序数组使. 把{}叫做空间的一个基底, 都叫做基向量. 推论: 设O,A,B,C是不共面的四点, 则对空间任一点P都存在的三个有序实数使 概念 空间两个向量的数量积: 已知空间两个向量 则叫做向量的数量积, 记作 即. 正射影: 已知和轴, 是是与同方向的单位向量, 作点A在上的射影A/, 作点B在上的射影B/, 则叫做在轴上或在方向上的正射影, 简称射影, A/B/=|| 空间向量数量积所具有的性质: (1) ; (2); (3) 空间向量数量积满足的定律: (1); (2); (3). 公式 向量的直角坐标运算: 设,则 ; ; ; ; ; . 设A , 则= 即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个有向线段的终点减去起点坐标. 夹角和距离公式: 设,则 |; |; . 设A , 则||= [活用实例] [例2] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为的正方形, 侧棱AA1的长为,且AA1和AB、AD的夹角都等于1200，求对角线AC1的长，以及直线BD1和AC夹角的余弦。 [题解] [例3]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N和P分别为A1B1、BB1和B1C1的中点. 求直线AM与CN所成的角; 求证: B1D平面PMN. [题解] 直线的的方向向量: 在空间给定了一点M与一个非零向量, 那么通过点M且与向量平行的直线就唯一地被确定, 向量叫做直线的方向向量.显然, 任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量. 两异面直线所成的角: 平行于两异面直线的两向量间的角,叫做两条异面直线的夹角. 在空间直角坐标系中,设两异面直线的的方向向量分别为那么它们的夹角为 . 直线和平面所成的角: 直线与平面所成的角可以由直线的方向向量={和平面的法向量={A,B,C}来决定.如果设和的夹角为,那么=||, 因而 点到平面的距离: 设点P1(,平面,则P1与平面的距 离为(其中P0是P1在平面上的垂足). [活用实例] [例4] 已知线段AB在平面内, 线段AC, 线段BDAB, 且AB=7, AC=BD=24, 如果CD=25, 求线段BD与平面所成的角. [题解]由 AC可知, ACAB. 过点D作DD1, D1为垂足, 设 则 |. 因为,所以 |. 即252=242+72+242+, ,即,, 即BD与所成的角为. [例5] 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求点A1到平面AED的距离. [题解] （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影， 即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) （2）由