10代数结构 - GO TO STAFF.USTC.EDU.CN.docVIP

第三部分 代数结构 引 　　言 　　代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 　　构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 　　整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统P(B),。类似这样的代数系统可以列举出许多许多，他们都是具体的代数系统。考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统A,，其中 A是一个集合，是A上的可交换、可结合的运算，这类代数系统实际上就是交换半群。 　　为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。 　　下图给出了代数结构部分的知识体系。 　　　　　　　　　 　　　 10.1 二元运算及其性质 一、二元运算与一元运算的定义 1．二元运算的定义与实例 定义10.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。　　例如f：N×N→N,f(x,y)=x+y就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运算。普通的减法不是自然数集合N上的二元运算,因为两个自然数相减可能得到负数,而负数不是自然数。这时也称N对减法运算不封闭。验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： 　　(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。 　　(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。 　　例如实数集合R上不可以定义除法运算,因为0R,而0不能做除数。但在R*=R－{0}上就可以定义除法运算了,因为x,y∈R*,都有x/yR*。 　 例10.1 　　(1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。 　　(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。 　　(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0. 　　(4) 设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即 　　　　　　 则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算。 　　(5) S为任意集合,则、∩、－、为S的幂集P(S)上的二元运算,这里和∩是初级并和初级交。 　　(6) S为集合,SS为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算为SS上的二元运算。 2．一元运算的定义与实例定义10.2 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。 例10.2 　　(1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。 　　(2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。 　　(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。 　　(4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。 　　(5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,ASS,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 　　(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。 二．二元与一元运算的表示 1．算符 　　可以用、*、·、、 等符号表示二元或一元运算,称为算符。对于二元运算,如果x与y运算得到z,记做xy=z；对于一元运算，x的运算结果记作x.? 2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表 　　表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。 　　所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和运算结果之间的映射规则。 　例10.3 设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*：x,y∈R,x