数学建模1-2-课件.pptVIP

来编制计算机程序，在字长为8基底为10的计算机上进行运算，则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算， 这时 的第二项最后两位数“01”，由于计算机字长的限制，在机器上表示不出来，故在计算机对其舍入运算（用 标记）时 这样算出的根显然是严重失真的（ 精确解 ），这说明直接利用（1.8.2）求解方程（1.8.1）是不稳定的。其原因是在于当计算机进行加减运算时要对阶舍入计算，实际上受到机器字长的限制，在计算 时，绝对值小的数（1）被绝对值大的数( )“淹没”了，在计算 时， 被 “淹没”了；这些相对小的数被“淹没”后就无法发挥其应有的影响，由此带来误差，造成计算结果的严重失真。同样道理，当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差减小。这时，如要提高计算的数值稳定性，必须改进算法。 在此例中，由于算出的根是可靠的，故可利用根与系数的关系式 来计算 , 有 所得结果很好。这说明第二种算法有较好的数值稳定性（注意在利用根与系数关系式求第二个根时，必须先算出绝对值较大的一个根，然后再求另一个根，才能得到精度较高的结果）。 例1.8.2 试计算积分 解 由分部积分可得 因此有递推公式 用上面的递推公式，在字长为6，基底为10的计算机上，从 出发计算前几个积分值，其结果如表1.8.1。 表1.8.1 1 0.367879 2 0.264242 3 0.207274 4 0.170904 5 0.145480 6 0.127120 7 0.110160 8 0.118720 9 -0.068480 表1.8.1 中南大学数学与统计学院 科学计算与数学建模 —— 绪论 §4 误差的种类及其来源 非过失误差 数值计算中， 除了可以避免的过失误差外， 还有不少来源不同而又无法避免的 非过失误差存在于数值计算过程中， 主要有如下几种 截断误差 观测误差 模型误差 舍入误差 1.4.2 观测误差 在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度 的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。 1.4.3 截断误差 在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运 1.4.1 模型误差 在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为“模型误差”。 算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。 (1.4.1) (1.4.2) 若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取 (1.4.3) 例如，函数 和 可分别展开为如下的无穷幂级数： 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段的产生的截断误差。(1.4.3)和(1.4.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(1.4.1)和(1.4.2) 都是交错级数，当 时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差 可分别估计为： (1.4.4) 1.4.4 舍入误差 在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数中某些分数化出的无限循环小数，如 和 由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能有有限位数，这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似的有理数来代替。由此引起的误差称为“舍