数值计算第一章绪论.ppt

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2017-12-30 发布于湖北
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数值计算第一章绪论

3. 避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为 ? 算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.1?1010，1存为0.1?101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 ? 1010，取单精度时就成为： 109+1=01010+0?1010=0?1010 大数吃小数上一页下一页返回注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 100 + 109 三、注意简化计算步骤，减少运算次数一般来说，计算机处理下列运算的速度为算法2：先解出再利用上一页下一页返回例计算下列n次多项式：解：方案一直接计算此时所需的乘法次数为：此时所需的加法次数为：方案二（秦九韶算法）考虑到：则有此时所需的加法次数为：n；所需的乘法次数为：n 显然方案二的计算次数比方案一的计算次数要少。上一页下一页返回一、向量的范数 /* vector and matrix norms */ 定义　　　R n空间的向量范数 || · || 对任意满足下列条件: （正定性 /* positive definite */ ) 对任意 (齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ ) 常用向量范数： ? = = n i i x x 1 1 | | || || ? = = n i i x x 1 2 2 | | || || p n i p i p x x / 1 1 | | || || = ? = | | max || || 1 i n i x x ? ? ? = 注：也称为向量的模 §4 向量和矩阵的范数上一页下一页返回定义　　　向量序列收敛于向量是指对每一个 1 ? i ? n 都有。可以理解为定理 R n 上一切范数都等价。例如：上一页下一页返回 * 下一页返回 Instructor: PENG Yehui FENG Heying E-mail: pengyehui@hnust.edu.cn 上一页下一页返回 QQ:数值分析、数值方法、数值计算方法上一页下一页返回第一章绪论第二章插值法第三章函数的最佳逼近第四章数值积分和数值微分第六章线性方程组的迭代解法第五章线性方程组的直接解法第七章非线性方程和方程组的数值解法第八章矩阵特征值问题的数值解法第九章常微分方程的数值解法上一页下一页返回第三节数值稳定性和要注意的若干原则第一节数值计算方法的研究对象和特点第二节数值计算的误差上一页下一页返回第四节向量和矩阵的范数 §1 计算方法的研究对象和特点 (1) 数学的一个分支、数学与其它应用学科的桥梁提问：计算方法有什么重要地位和作用？上一页下一页返回 “21 世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上” 19 世纪德国数学家克莱因说“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切” 随着计算机的飞速发展，数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。 (2) 其它学科发展迫切需要进行数值计算与仿真，“科学与工程计算”已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段. 计算方法的研究对象和内容：研究求解各种数学问题的数值方法及其理论，并且将方法在计算机上实现，求出问题的数值解，或者说是问题的近似解。注意：我们在学习中，不但要掌握并会使用算法，还要重视必要的理论分析，即分析算法的收敛性、稳定性、误差分析等，这样才能保证计算结果的可靠性。上一页下一页返回 §2 数值计算的误差 /* Error */ 一、误差的来源与分类/* Source Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型

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