数值分析方法第二章.pptVIP

设 , 的相对误差限为?r 求 的绝对误差限 计算 取 直接计算f和把f转化为 计算，哪一个最好？ 数值运算的绝对误差和相对误差 和、差、积、商的误差估计式 算法的数值稳定性 例题 序列满足递推关系 该计算公式稳定吗？ 举例 计算 数值运算的误差估计 已测得某物体行程 的近似值s=800m， 的近似值 t=35s。若已知 试求平均速度 的绝对误差限和相对误差限。 解 因为 由商的误差估计式有 例 所需时间 传播与积累 /* Spread Accumulation */ 例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！ NY BJ 以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/ §4 几点注意事项 /* Remarks */ 1. 选用稳定的算法。 病态与良态问题 相对误差条件数 函数值的相对误差 对于一个数值问题,如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题,相反称为良态问题 扰动 相对误差 相对误差的比值 相对误差条件数越大，病态越严重 称为病态问题 初始数据相对变化1%，计算结果相对变化400%！病态！ 分析: 定义：一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。 如果第 则称此计算公式是绝对稳定的， 否则称为不是绝对稳定的。 步的误差 步的误差 满足 与第 例：计算 ? 公式一： 注意此公式精确成立 记为 则初始误差 ? ?? ? ! ! ! What happened?! 考察第n步的误差 我们有责任改变。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 迅速积累，误差呈递增走势。 可见初始的小扰动 ? 公式二： 注意此公式与公式一 在理论上等价。 方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。 可取 取 We just got lucky? 考察反推一步的误差： 以此类推，对 n N 有： 误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 例 解 失之毫厘,差之千里！ 2. 避免相近二数相减 例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 ? a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 例 求下列方程的根 解: 用 8 位浮点数 (有效数字)计算 用 4 位浮数点(有效数字)计算 两接近数相减 损失了有效数字 数值不稳定的方法 仍用4 位浮点数计算 数值稳定 的方法 减法本身完全正确 误差传播的研究十分重要 是因为求 的误差(并不大), 进行减法后导致不应忽视的后果 准确 ? 几种经验性避免方法： 当 | x | 1 时： §4 Remarks 3. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 /* over flow */ Excuses for not doing homework I accidentally divided by zero and my paper burst into flames. §4 Remarks 4. 避免大数吃小数 例：用单精度计算 的根。 精确解为 ? 算法1：利用求根公式 在计算机内，109存为0.1?1010，1存为0.1?101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 ? 1010，取单精度时就成为： 109+1=01010+0?1010=0?1010 大数吃小数 §4 Remarks 算法2：先解出 再利用 注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。 5. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。 一般来说，计算机处理下列运算的速度为 需乘法5次，加法3次，存储单元7个。 需乘法3次，加法3次，存储单元6个。 例题 需乘法254次。 需乘法14次。 例题 便与计算机实现(可行性) 计算量小 存储小 解与近似解误差小 设计一