数值分析01_第一章.pptVIP

华长生制作 * 绝对误差 增长因子 相对误差 增长因子 思考: 试分析相近数相减的误差传播规律 华长生制作 * 特别地，对 绝对误差限的传播关系有 同样，可以得到 华长生制作 * 解 这里 并且有 于是有误差界 相对误差界 例 7 设有长为 ,宽为 的某场地。现测得 的近似值 M,d 的近似值 =90M，并已知它们的误差界为 试估计该场地面积 的误差界和相对误差界。 华长生制作 * 例8 设有三个近似数 它们都有三位有效数字。试计算 的误差界，并问 的计算结果能有几位有效数字？ 解 于是有误差界 相对误差界 因为 所以 能有两位有效数字。 华长生制作 * 一、浮点数系及其运算的舍入误差 (略) 二、算法的数值稳定性 1.3 舍入误差分析及数值稳定性 舍入误差在一定的条件下能够得到控制或舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则称该算法是数值稳定的，否则称其数值不稳定。 华长生制作 * 例8. 计算定积分 解: 华长生制作 * 误差放大 5千倍! 但如果利用递推公式 华长生制作 * 因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则 1. 四则运算中的稳定性问题 (1) 防止大数吃小数 这一类问题主要由计算机的位数引起 假如作一个有效数字为4位的连加运算 误差会放大 误差不会放大 华长生制作 * 而如果将小数放在前面计算 在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法. 华长生制作 * (2) 作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失 由于 在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等 华长生制作 * 例9. 解方程 解: 由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为 而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式 机器吃了 因此在计算机上 华长生制作 * 上式是解二次方程的数值公式 华长生制作 * (3) 避免小数作除数和大数作乘数 由误差传播的估计式 在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现 华长生制作 * 2. 提高算法效率问题 (1) 尽量减少运算次数 使用秦九韶算法 对多项式 可大大减少计算量 华长生制作 * (2) 尽量使用耗时少的运算 (3) 充分利用存储空间 * 华长生制作 封建湖、车刚明、聂玉峰编著 科学出版社 主要教材： 华长生制作 * 主要参考书：《数值分析与实验》 韩旭里、万忠 编著 科学出版社 华长生制作 * 第一章 绪论 1.3舍入误差分析及数值稳定性 1.1 数值分析的对象与任务 1.2 误差基础知识 华长生制作 * 本章重点: 1. 绝对误差(限)和相对误差(限) 2. 有效数字位数及其与误差的关系 华长生制作 * 1.1 数值分析的对象与任务 实际问题的提出 建立数学模型 提出数值问题 设计高效、可靠的数值方法 程序设计 上机实践计算结果 科学与工程领域中的问题求解一般过程： 华长生制作 * 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程 是数值问题 一、数值问题 华长生制作 * 求解微分方程 不是数值问题 将其变成数值问题，即将其“离散化” “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法 华长生制作 * 二、数值方法 数值方法: 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式 现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt() 常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算 华长生制作 * 应化为 如求根公式 应化为公式 华长生制