应用F-展开法求解Hirota-Satsuma方----------程组的精确行波解.doc

应用F-展开法求解Hirota-Satsuma方程组精确波解 摘 要 在本文中引入一个辅助方程，通过这个辅助方程来构造Hirota-Satsuma方程组的精确解，利用这个辅助方程的解，获得了Hirota-Satsuma方程组的各种行波解，包括周期解，孤立波解，扭子波解，紧孤立波解等. 关键词：Hirota-Satsuma方程组ABSTRACT In this paper, a auxiliary equation is introduced. By using this auxiliary equation, the exact solutions of Hirota-Satsuma equations are established .that is, different kinds of exact traveling wave solutions of Hirota-Satsuma equations are obtained by use of solution of this auxiliary equation ,these exact solutions include periodic wave solutions, solitary wave solutions,kink wave solutions and compacton wave solutions. Keywords: Hirota-Satsuma equations; F-expansion method; traveling wave solutions; periodic solutions; solitary wave solutions; kink wave solutions;compacton wave solutions 目 录 第一章 绪论 1 1.1 研究现状 1 1.2 研究方程 1 1.3 研究内容 1 第二章 F-展开法 3 第三章 求解方程组 5 3.1 一般形式的精确解 5 3.2 函数的行波解 7 第四章 小 结 36 参考文献 37 致谢 38 绪论 1.1 研究现状 非线性科学是近30年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上形成的，是继量子力学，相对论之后20世纪自然科学的重大发现. 最近,出现了许多求非线性发展方程精确解的新方法,如:齐次平衡 ,双曲正切函数展开, 椭圆函数展开 , F展开 等. 它们各自对于某一类方程求某一种形式的行波精确解是十分有效的.其中椭圆函数展开法 , F展开法对于求非线性发展方程的 椭圆函数解是十分有效的对于Hirota-Satsuma方程人们一直研究，Hirota双线性法[10]，Painleve有限展开法[11-12]，延拓法及Lie群法[13]等.但目前科学理论和技术的发展迫切需要研究有效的求解方法.所以求非线性数学物理偏微分方程的精确解是人们探索的课题,需要研究有效的求解方法.(1)非线性Hirota-Satsuma方程组 (1-1) 1.3 研究内容 本文主要是针对非线性耦合方程组的特点，构造一个辅助方程，通过采用齐次平衡法、F-展开法及辅助方程的解来得到方程组(1的行波解，并利用数学软件Maple得到行波解的几个典型波形图论文主要分为三个章节来写： 第一章 主要写研究此问题的背景，研究方程的由来及论文的大体情况； 第二章 主要介绍论文用到的概念及研究方法； 第三章 论文研究的全过程及得结果 F展开法 F-展开法是齐次平衡原则的新应用，可视为椭圆函数、三角函数以及双曲正切函数展开法的概括. 考虑非线性波方程(PDE) (2-1) 为其变元的多项式，其中包含有非线性项和高阶偏导数 寻求它的行波解为 (2-2) 其中为非零常数，是任意实常数.(2.1) 经(2.2) 行波变化为 . (2-3) 依据F 展开法，首先，假设(2.3) 的解u(ξ) 具体形式为 (2-4) 其中 为待定常数，且函数满足如下的一阶常微分方程 (2-5) 其中A, B , C 为待定常数. 然后，利用齐次平衡原则 ，确定(2-4) 式中的n ， 使得(2