二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结).docVIP

二次函数铅垂高 如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及； (3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 例1解：(1)设抛物线的解析式为： 1分 把A（3,0）代入解析式求得 所以 3分 设直线AB的解析式为： 由求得B点的坐标为 4分 把，代入中 解得： 所以 6分 (2)因为C点坐标为(１,4) 所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以CD＝4-2＝2 8分 (平方单位) 10分 (3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h， 则 12分 由S△PAB=S△CAB 得： 化简得： 解得， 将代入中， 解得P点坐标为 14分 总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。 例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. 1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 设该表达式为： 将C点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为： （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为（－3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，－3） 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，－3） （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得 ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得 ∴圆的半径为或． （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为． 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ． 当时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为，． 随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E． （1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另