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环形薄板二维驻波的研究1) 2) 3) 方奕忠 王 钢 沈 韩 崔新图 廖德驹 冯饶慧 （中山大学物理科学与工程技术学院, 广东 广州 510275 ） 摘要：在理论上和实验上对环形薄板二维驻波波节图形(克拉尼图形)进行了研究. 通过在极坐标下对 垂直板面方向小振动方程进行分离变量, 求解出环形薄板小振动方程在外边界悬空时分别在两种内 边界条件, 即内边界悬空和内边界简支下的解析解的简正模式, 并计算了在第一种边条件下几种共 振模式的径向波速近似值, 以及两种边条件下的圆形驻波波节线的半径和薄板的弹性模量. 发现通 过调节环形薄板上点振动源的频率，可精确控制薄板上出现的克拉尼图形. 实验上观察到了仅有圆 形波节线, 仅有辐射状波节线, 以及两种波节线同时存在三种简正模式的情形，且波节线的数量可严 格控制. 理论结果跟实验符合得很好. 关键词：驻波；贝塞尔函数；克拉尼图形; 环形薄板 中图分类号：O343.1 ; O326 ; O421+.5 文献标识码：A doi ：10.6052/0459-1879-15-023 引言 十八世纪后期,克拉尼在一个水平放置的上面撒有稀薄沙粒的薄金属平板的边缘用小提琴弓进 行上下拉锯以产生小振动, 发现细沙会聚集到驻波波节线上形成对称性的图形, 现称为克拉尼图形 [1]. 此后，对克拉尼图形的研究在理论上和实验上都有重要的进展和应用[2~6]. 若所用的细沙研制得 象粉末一样很细很轻, 则细沙还会聚集在波幅上而不是在波节上, 形成所谓的逆向克拉尼图形, 又 [7] [8] [9] 称法拉第堆 (或克拉尼堆 ). 根据瑞利的记载 , 泊松理论上计算了圆形薄板的低频端克拉尼图形 的前几个圆形波节线的半径, 萨伐尔在实验上进行了一系列的观测, 证实了理论跟实验非常吻合. 到目前为止, 对克拉尼图形的研究多限于方形薄板[10]、圆形薄板[9, 11]、小提琴形薄板[12]或体育场形 状薄板[6,12]等模型, 且除了我们的工作[10, 11]外其它仅限于中低频. 上世纪末, 文献[13~15]对弹性地                                                                              收稿,       录用,   1)  国家自然科学基金资助项目 和中山大学实验教学研究（改革）基金项目资助课题（No. YJ201109 ）.  2)方奕忠, 工程师, 博士, 主要研究方向: 数学物理、弹性力学和理论声学. E-mail: stsfyz@  3)沈 韩, 副教授, 博士, 主要研究方向: 电介质物理实验及理论研究. 联系地址: 广东省广州市海珠区新港西路 135 号中山大学理工学院基础物理实验室. 邮编: 510275. 电话: (020 手机: E-mail: shenhan@    1