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高中数学基础知识归类 基 础 知 识 一. 集合与简易逻辑 1. 注意区分集合中元素的形式.如：—函数的定义域；—函数的值域； —函数图象上的点集. 2. 集合的性质： ① 任何一个集合是它本身的子集,记为. ② 空集是任何集合的子集,记为. ③ 空集是任何非空集合的真子集；条件为,在讨论的时候不要遗忘的情况 如：,如果,求的取值.(答：) ④ ,；； . ⑤ . ⑥ 元素的个数：. ⑦ 含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为. 3. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围.(答：) 4. 原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件) 5. 若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件或q的一个充分非必要条件是p或p的一个必要非充分条件是q). 6. 注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是. 命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”. 如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数”否定是“若和都是偶数,则是奇数”. 7. 常见结论的否定形式 原命题中含有全称量词（或存在量词），命题的否定必有存在量词(或全称量词) 原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 2. 函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3. 函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数 且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域. 5. 求值域常用方法: ① 配方法(二次函数类)；② 逆求法(反函数法)；③ 换元法(特别注意新元的范围). ④ 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤ 不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧ 判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6. 求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。 7. 函数的奇偶性和单调性 ⑴ 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵ 若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()； ⑶ 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或； ⑷ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如定义域关于原点对称即可). ⑸ 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹ 确定函数单调性的方法有定义法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺ 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数的单调递增区间是.(答：) 8. 函数图象的几种常见变换 ⑴ 平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对而言). ⑵ 翻折变换：；. ⑶ 对称变换：① 证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ② 证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然. ③ 函数与的图像关于直线(轴)对称；函数 与函数的图像关于直线(轴)对称； ④ 若函数对时，或恒成立,则 图像关于直线对称； ⑤ 若对时,恒成立,则图像关于直线对称； ⑥ 函数,的图像关于直线对称(由确定)； ⑦ 函数与的图像关于直线对称； ⑧ 函数,的图像关于直线对称(由确定)； ⑨函数与的图像关于原点成中心对称；函数,的图像关于点对称； ⑩ 函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于,的对称曲线的方程为(或； 曲线：关于点的对