化学中的群论-1.pptVIP

化学中的群论 内容： 第一章 群的基础知识 第二章 分子的对称性与对称性操作 第三章 群的表示 第四章 群在化学研究中的应用实例 参考书 《群论在化学中的应用》 [美]F.A.科顿 科学出版社 《群论与分子对称性》 誉文德 华南工学院出版社 《群论及其在物理和化学中的应用》 方可 重庆大学出版社 《物理学中的群论》 马中骐 科学出版社 第一章 群的基础知识 1.1 群的定义和性质 二、群的一些基本概念 有限群的阶：群中元素的个数称为有限群的阶。 Abel群：群中任意两元素的积一般不对易。即RS≠SR 若RS=SR，则此群叫Abel群。 循环群：若群G={E=Rn, R, R2, ……, Rn-1}, 则它是一个n阶循环群，记作Cn。R称为G的生成元。 例：在二维平面上绕原点顺时针连续旋转π/3的操作构成的群G={E=R3(π/3), R (π/3) , R2(π/3)}就是C3群。 因为群中任意元素有如下形式：…Rk, Rl… RkRl = RlRk, k,l≤n, 所以循环群是Abel群。但逆命题不成立。 元素的阶：有限群的任一元素自乘若干次后，必可得到恒元。若Rn=E，称n为元素R的阶。 三、群的例子 1. 所有有理数的集合对于普通数的加法构成无限加法Abel群。 单位元：0 n的逆元：-n 加法满足封闭性和结合率 四、群表和重排定理 1.群乘法表 2.群表定理（重排定理） 一个群的所有元素，在群表的每一行（或一列）都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。 习题 1.举例说明一阶群、二阶群、三阶群、四阶群。 2.G是由a、b、c三个元素所构成的集合，它们的乘法表如下，判断G是否构成群？ 3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法构成一个群V： 写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？ 1.2 子群 例：找出正三角形对称群D3的所有子群。 1.3 共轭元素和类 1.4 同构和同态 1.5 群的直接乘积 * * 我们周围到处都有对称性的存在，一般人们认为有对称性的东西是美的。 群论在量子化学和光谱学的研究中也是最有力的数学工具之一，它帮助人们预测、解释、简化复杂的理论和数据。 抽象群的数学理论是近世代数学和有关对称性一般研究结果。 群论是数学中的一门学科，但同时被应用到许多科学领域。例如：点论在化学中用来描述分子的对称性, 洛伦兹群是相对论的核心部分，空间群在晶体物理的研究中起到关键的作用。 在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群。 1.集合对乘积的封闭性. 集合中任意两元素的乘积仍属此集合。即 2.乘积满足结合律 3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变，即 4.任何元素R的逆元R-1存在于集合中，满足 一、定义 4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,…,xn)的集合对于向量的加法构成群。 恒元：零向量 逆元：a=(a1,a2,…an) ?-a=(-a1,-a2,…,-an) 封闭性：满足 结合律：满足 2. 除零外的所有实数的集合对于普通数的乘法构成无限乘法Abel群。 单位元：1 n的逆元：1/n 乘法满足封闭性和结合率 3.{立定，向左转，向后转，向右转}对于连续动作构成四阶群。 单位元：立定 逆元：立定?立定 向左转? 向右转 向后转?向后转 封闭性：满足 结合律：满足 ↓ ↑ ← → → ↑ ↓ → ← ← ← → ↑ ↓ ↓ → ← ↓ ↑ ↑ → ← ↓ ↑ -1 1 i -i -i 1 -1 -i i i i -i 1 -1 -1 -i i -1 1 1 -i i -1 1 1, -1, i, -i对于数的乘法构成群 {立定（ ↑ ），向左转（← ），向后转（↓） ，向右转（ ↓）} 从此群表中可以看出， {↑， ↓}和 {1，-1}各自形成子群。 上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。 对于有限群，群元素数目有限，我们有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表称为群的乘法表，简称群表。 Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。 循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元素移到最右面去。 例 G={E=R4,R,R2,R3}, R1~4分别表