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《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-3) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn 复习 复 习 5－3 控制系统性能的复域分析 例: 系统的开环传递函数 试画根轨迹，并确定 时K1的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) 渐近线：3条。 渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去） 5－3 控制系统性能的复域分析 （3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去) （4）确定 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 使得 ， 测量得: 求得 5－3 控制系统性能的复域分析 A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: K1=44.5时另外两个极点 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。 5－3 控制系统性能的复域分析 5－3 控制系统性能的复域分析 5－3 控制系统性能的复域分析 5－3 控制系统性能的复域分析 5－3 控制系统性能的复域分析 3. 闭环零、极点对系统动态性能的影响 (1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型。 (2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。 (3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加 快，超调量增大，峰值时间提前。 (4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。 (5) 远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。 (6) 主导极点。 * * 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点） 起点 终点 1 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数 相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： 对称于实轴 等于开环传递函数的极点数（n?m） 规 则 实轴上分布 渐近线 对称性 分支数 内容 2 5 3 4 序 实轴上的分离（会合）点 ——（必要条件） 分离（回合）点 6 根轨迹上任一点处的K1： 当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。 （1）满足特征方程 的 值； （2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）； 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 规 则 K1计算 走向 虚轴交点 出射角 入射角 内容 7 10 8 9 序 5－3 控制系统性能的复域分析 一、复域分析 1．稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。 2．稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。 3．动态性能分析： 当0K1≤17时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。 当17K1240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。 若取ζ=0.5，极点： s1=-1.2+j2.1，s2=-1.2-j2.1， s3=-7.6。由于s3相对s1、s2来说，远离虚轴，s1、s2可看成主导极点，s3可忽略，即可用二阶系统的动态特性指标来近似这个实际上的三阶系统。不难求得该系统的复域动态性能指标：ζ=0.5，ωn=2.4对应的动态性能时域指标： ts= =2.9s σp=16.3% 二、增加开环零、极点对系统性能的影响 系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共