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湖北重点高中2013年自主招生考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）。 1、若不等式组的解集是，则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 2、在中，，，，则( ) A、 B、 C、 D、 3、如图，为⊙的一固定直径，自上半圆上一点作弦，的平分线交⊙于点，当点在上半圆（不包括、两点）上移动时，点( ) A、到的距离不变 B、位置不变 C、等分 D、随点的移动而移动 4、已知（，均为实数），则的最大值与最小值的差为( ) A、 B、 C、 D、 5、已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆上一点，点在上。一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是( ) 6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( ) A、圈 B、圈 C、圈 D、圈 7、二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有( ) A、个 B、个 C、个 D、个 8、如图，正中，为正三角形内任意一点，过作，， 连结、、，如果，那么的内切圆半径为( ) A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9、与是相反数，计算= ． 10、若表示不超过的最大整数， ，则= ． 11、如图，分别为两边的中点， 与交于点，则 = ． 12、如图，已知圆的面积为3，为直径，弧的度数为，弧的度数为，点为直径 上任一点，则的最小值为 ． 13、从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是的倍数的个数为，是的倍数的个数为，则样本的中位数是 　　　． 14、由直线和直线（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为，则的最小值是　　　　 　． 15、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm. 16．将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm. 第15题图　　　　　　　　　　　第16题图 三、解答题（72） 17、（14分）已知抛物线 过点 ，且与直线只有一个交点． ⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 若直线与抛物线相交于两点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形? 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 18、有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度iBC = ，坝高为5 m，坝顶CD = 6 m，现有一工程车需从距B点50 m的A处前方取土，然后经过B—C—D放土,为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1 m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1 m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长。（tan150=2－） （14分）如图,过正方形的顶点在形外引一条直线分别交延长线于点,与交于点,与交于点,与交于点． ⑴ 猜想： 与的大小关系? 并证明你的猜想．⑵ 猜想：是的什么心? 并证明你的猜想． 20、（15分）如图，已知菱形边长为,,点在线段延长线上, 半径为的圆与分别相切于点，半径为的圆与延长线、延长线和分别相切于点． （1）求菱形的面积；（2）求证：；（3）求的值． 21．(15 分)如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m0)与x 轴相交于 点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 一、选择题（8×3’＝24’） 1～4