高一数学几何数学经典试题.docVIP

1. 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证： (1) FD∥平面ABC; (2) AF⊥平面EDB. 解；(1)取AB的中点M,连FM,MC, ∵ F、M分别是BE、BA的中点 ∴ FM∥EA, FM= EA ∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM 又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形 ∴ FD∥MC FD∥平面ABC (2) 因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB 又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB. 2、已知四棱锥P-ABCD(如图所示)的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一个动点． 求证：；（4分） 当的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小．（10分） 1）证明：连接AC． ∵点A是点P在底面AC上的射影,(1分) ∴PA(面AC.(2分) PC在面AC上的射影是AC. 正方形ABCD中,BD(AC,(3分) ∴BD(PC.(4分) 2)解:连接OS. ∵BD(AC,BD(PC, 又AC、PC是面PAC上的两相交直线, ∴BD(面PAC. (6分) ∵OS(面PAC, ∴BD(OS.(7分) 正方形ABCD的边长为a，BD=，（8分） ∴(BSD的面积．（9分） OS的两个端点中，O是定点，S是动点． ∴当取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS(PC．（10分） ∵PC(BD， OS、BD是面BSD中两相交直线， ∴PC(面BSD．（12分） 又PC(面PCD，∴面BSD(面PCD．（13分） ∴面BSD与面PCD所成二面角的大小为90°．（14分） 4、在三棱锥P－ABC中，,,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC． (1( 求二面角P－AC－B的大小； (2( 若，求点B到平面PAC的距离． . 解 ：(1( 由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90(， ∵ PA = PB = PC， ∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心， 即斜边BC的中点E． 取AC中点D，连PD, DE, PE． ∵ PE⊥平面ABC，DE⊥AC (∵ DE∥AB(, ∵ AC⊥PD． ∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角． 又PE = AC ，DE = AC ，（） ∴ tan ∠PDE = =， ∴ ∠PDE = 60(． 故二面角P－AC－B的大小为60(． 5. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点. (Ⅰ)证明：AM⊥PM； (Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小； (Ⅲ)求点D到平面AMP的距离. 解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC⊥CD ∵平面PCD⊥平面ABCD ∴BC⊥平面PCD……………………………2分 而PC平面PCD ∴BC⊥PC 同理AD⊥PD 在Rt△PCM中，PM= 同理可求PA=，AM= ∴…………………………5分 ∴∠PMA=90° 即PM⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM ∵△PCD为正三角形 ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD 由(Ⅰ) 可知PM⊥AM ∴EM⊥AM ∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME= ∴∠PME=45° ∴二面角P－AM－D为45° 7、（本小题满分14分） 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=，AA1= （I）求AB1与侧面CB1所成的角；（4分） （II）若点P为侧棱AA1的中点，求二面角P－BC－A的大小；(5分) （Ⅲ）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离. 解：（I）取BC中点D,连结AD,B1D ∵三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱 ∴侧面CB1⊥底面ABC,且交线为BC………………1分 ∵△ABC为等边三角形∴AD⊥BC, ∴AD⊥面CB1 ∴∠AB1D为AB1与侧面CB1所成的角………2分 在Rt△ADB1中 ∵AD=，AB1＝ ∴sin∠AB1D＝ ∴∠AB1D= （II）连结PB,PC,PD, ∵PA⊥底面ABC AD⊥BC ∴PD⊥BC ∴∠PDA为二面角P－BC－A的平面角 在Rt△PAD