椭圆的第一定义的应用.ppt

* * 椭圆的第一定义 泾南中学 窦剑峰 它所表示的椭圆焦点在x轴上,分别为:F1(-c,0),F2(c,0) 2a表示椭圆上任一点到两个焦点的距离之和 2c表示焦距且两个焦点的坐标分别为(-c,0)和(c,0) 且ab0 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点F1(-c,0),F2(c,0)在x轴上 若椭圆焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上， 这时只要把方程中的x,y互换即可得椭圆方程: 焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上 其中: b2=a2-c2 如何判断焦点 在X轴还是Y轴？ 当x2的分母大时，焦点在x轴 当y2的分母大时，焦点在y轴 椭圆标准方程 椭圆标准方程 椭圆第一定义的应用： 1、利用定义求椭圆轨迹方程 2、利用定义解决焦三角形问题 3、利用定义求最值问题 例：已知圆 内一点A(2,0)，求 过A点，且和圆内切的圆的圆心M的轨迹方程？ M. C O A T 又MT=MA CM+MA=6 且CM+MACA=4 所以M的轨迹为以C(-2,0)A(2,0) 为焦点的椭圆且2a=6，2c=4 解：圆C和圆M内切，则CM=6-MT a2=9，c2=4，b2=5 例2：设圆 的圆心为C，A（1，0）为圆内 一定点，Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与CQ的交点为 M，求动点M的轨迹方程？ A. Q M C 解：连接MA,由MN为AQ的垂直平分线 MA=MQ MC+MA=MC+MQ=52=CA 故点M的轨迹是以C(-1,0),A(1,0)为焦点 的椭圆，且2a=5，2c=2， 利用椭圆定义求椭圆方程 要注意定形，定式，定量 解：因为AB+AC=106=BC 所以顶点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆 以 BC所在直线为X轴，BC的中点为原点 BC的垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系 则B(-3,0),C(3,0),2a=10，2c=6，b=4 所以点A的轨迹方程为 1、已知B,C是两定点，BC=6,△ABC的周长为 16，求顶点A的轨迹方程？ A B C 例1、在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-4,0) 和C(4,0),顶点B在椭圆 上,则 = —— A C B 由正弦定理知道 = 解：由题可知：a=5，b=3，c=4 A（-4，0）C（4，0）为椭圆两焦点 一顶点在椭圆上，另两点 为椭圆两焦点的三角形叫 焦三角形 例2、已知点P是椭圆 的一点，F1和F2是 椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=θ.求△F1PF2的面积 P F1 F2 解：在△F1PF2中，由余弦定理知 焦三角形的面积 θ 1、椭圆 ，F1,F2为左右焦点，过F1的直线 与椭圆相交于A,B两点，求 △ABF2 的周长？ F1 A B F2 答案：a2=4，b2=2，c2=2 △F1BF2 答案：2a+2c=4+ 结论：焦三角形的周长为2a+2c 周长为2a+2a=8 2、设椭圆 上一点P到左焦点F1的距离为4， 若点M满足 ,则 =----------- P F1 F2 . M 解：a=5，2a=10 由向量的加法可知：M为PF1的中点 连接PF2，OM为△PF1F2的 中位线 又 O 3、已知F1,F2分别是椭圆 左右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2= F1 F2 P O 解：如图，连接PF1 由△POF2是正三角形 PO=OF2=OF1 ∠F1PF2=900 且 椭圆第一定义也常用来解决 焦三角形的周长、面积、角度 等问题，要注意和定义，正弦 定理，余弦定理相结合 例：已知点F2(4,0)和点B(2,2),M是椭圆 上一动点，则 的最大值是多少？ F2 F1 M B M` 如图，当M和M`重合的时候等号成立 所以 的最大值为 解： 由题知：a=5，b=3，c=4 F1=(-4,0),F2=(4,0) 2、已知椭圆 的焦点为F1,F2，在直线 L:x+y-6=0上找一点M,求以F1,F2为焦点，通过M 且长轴最短的椭圆方程？ F1 F2 F2`(6,4) 解：由题知：F1(-2,0),F2(2,0) 且F2关于直线L的对称点为F2`(6,4) 所求椭圆方程为 M 小结： 这节课