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第十二章 实数 第1讲 实数的概念 【知识要点】 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数. 无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数. 2. 实数：有理数和无理数统称为实数. 实数分类： 【学习目标】 理解无理数、实数的概念 【典型例题】 下列表述是否正确,并说明理由： （1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数. （3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数. （5）一个实数不是有理数,就是无理数. 【分析】利用实数、有理数、无理数的概念. 【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以（1）不正确. 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确. 因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确. 无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确. 实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确. 【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视. 【例2】选择题： 在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是 负实数 （B）负有理数 （C）非正实数 （D）非负实数 实数(两个11之间依次多一个0)中,无理数的个数有 （ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C）. （2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B）. 【例3】分别将下列各数填入相应的横线上： （每两个3之间1的个数依次多1） 有理数是 无理数是 【分析】有理数是能表示为形式的数,无理数是无限不循环小数,分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果. 【解答】有理数是： 无理数是：（每两个3之间1的个数依次多1）. 【基础训练】 实数可以分为和两类. 有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为、和. 3．叫无理数. 4．,无理数有个,它们是 5．写出在2和3之间的一个无理数. 第2讲 数的开方 （1）平方根和开平方 【知识要点】 1.平方根 如果一个数的平方根等于,那么这个数叫做的平方根,也可叙述为：“如果,那么就叫做的平方根.” 2.开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方,叫做被开方数. 3.平方根的性质 一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数的两个平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号”; 表示的负平方根,读作“负根号”. 零的平方根记作,. 因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根. 4.开平方与平方的关系 开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果,那么叫做的平方根”, 记作,我们得到： （1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当时, （2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当时, 一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当时, 【学习目标】 1.理解平方根与开平方的概念; 2.理解开平方与平方互为逆运算的关系; 3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系. 【典型例题】 例1 判断下列说法是否正确： （1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9. （4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是 【解答】（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是. （2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根. （3）不正确.应该是的平方是9. （4）不正确.表示81的正的平方根.它是一个正数,=9,而. （5）正确.因为根据平方根的概念,-7是49的平方根,但反过来说,49的平方根是-7就错了. (6)不正确.,的平方根即为4的平方根,所以的平方根应是. 【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练. 【例2】求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算术平方根）;求的值就是求的负的平方根（即的算术根的相反数）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义,是得到正确解的关键. 【解答】（1） （2） （3） （4） 【例3】求下列各