向量法在代数.doc

向量法在代数、几何、复数中的应用 李梅 摘要：向量在不同的数学领域都有广泛的应用，本文主要举例讨论了向量在代数、几何、复数方面的应用。 关键词：向量 代数 几何 复数 向量是新教材中增加的内容，向量的运算法则，以及运算律的给出容易使学生认为它属于代数内容，但向量实际上又属于几何范畴，所研究的内容大都与图形有关，所以向量是数形结合的一个典范，它融数形于一体，是实现数形转化，解决数学问题的重要工具，用向量知识解题，方法新颖，运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一，本文主要通过例题的形式讨论了向量在数学几个领域的应用。 1 预备知识 1.1向量的两种重要性质 性质1 若则 即 当且仅当pm=qn时，等号成立 性质2 当且仅当 同向平行时，右边等号成立 反向平行时，左边等号成立 1.2向量与复数间几个运算 设，为两个非零复数，与的夹角为，则 表示向量 表示向量 ... … 2 应用 2.1向量法在代数中的应用 例1 已知 求证 解：构造向量的夹为 则 又 所以 =0 故 因此 移项两边平方，经整理可得 例2 已知a,b,cR,且a+2b+3c=6 求证 解：构造向量： 所以 由 整理可得 2.2解三角问题 例3 已知 求的值 解：原条件可化为： 构造向量 则 由向量性质 得 两边同时平方整理得 将代入到已知条件中 化简整理可得 即 2.3 求解无理函数的最值 例4 求函数的最大值 解：构造向量 由性质1 得 = 当且仅当 即时最大值为 例5 求函数的最小值 解：构造向量 由性质2 得 当且仅当同向平行时等式成立，即，时最小值为 = 由以上例题，我们看到了用向量知识解代数问题，关键就是构造向量。我们要学会根据所给题的形式，构造适当的向量。 2.4向量法在几何中的应用 例6 设AM是△ABC的边BC上的中线，任作一直线，使之顺次交AB，AC，AM于P，Q，N点 求证：成等差数列 证明：设 则由 即 于是 ① 又 ② 由①②得 解得 即 命题得证 例7 如图正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于P点 求证BPDC 证明：设并设三角形ABC的边长为 则 又 于是 解得 从而 故 命题得证 例8 如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2，求二面角O-AC-的大小 D O1 C Z O1 C D A O B B Y O A X 图1 图2 解：以点O为原点，O所在直线为z轴，OB所在直线为y轴，OA所在直线为x轴，入图所示建立空间直角坐标系： 则 A(3,0,0) (0,0, ) C(0,1,) O(0,0,0) 设是面ACO的一个法向量 则 　　　　不妨设 设是面AC的一个法向量 则 　　　　　不妨设 二面角O-AC-的大小为 用法向量解几何题，关键是建立适当的直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简便。若有等腰三角形要主要利用三线合一的条件，通常取底边中线为z轴 2.5向量在复数中的应用 例9 设，都是复数，且，， 求的值 O 解：设，，在复平面内对应的向量分别为，，，　则在△中， ，， 由余弦定理得　 　　从而 故　　　　　　 例10 设w为复数，它的幅角主值为且为实数， 求复数w 解：设 则 由 则 w对应向量，对应向量，对应 那么 -4对应 为实数 对应的向量顺时针方向旋转，即落在实轴的正半轴上 又△中 故 可见，向量与复数在平面上是一一对应的，每一个复数都相应的对应了一个向量。我们解题的关键在于在复平面内恰当的找到与之相对应的