知识讲解_集合与函数综合_ 提高知识讲解_集合与函数综合_ 提高.docVIP

集合与函数综合 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.集合 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2.函数 (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用； (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．B”或“BA”． （2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为“AB”或“BA”． （3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；． 要点诠释： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 3．集合的基本运算 （1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x|x∈A，且x∈B}． （2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}． （3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的补集．记作“”．用数学语言表示为． 要点诠释： ；． 二、函数及其表示 1．两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等． 2．函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．映射 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射． 三、函数的性质 1．函数的单调性 （1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数． （2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数． （3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 2．函数的奇偶性 （1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以． （3）奇、偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数． 【典型例题】 377492 例4】 【变式1】设全集为，，，求及． =；=. 例2．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若，则≤l≤1；③，则 其中正确命题的个数是A．0B．1．2．3 根据题中条件：“当xS时，有x2S”对三个命题一一进行验证即可：对于m=1，得，，则，对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．【答案】D，当时，，故，当时，，则，可得或（舍去），故，∴，因此命题②正确；若，则，得，因此命题③正确． 类型二：映射 例3．设集合，f是A到B的映射，并满足． （1）求B中元素（3，－4）在A中的原象； （2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象； （3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式． 【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a 【解析】 （1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象， 于是，解得或， ∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（