散乱数据带自然边界条件二元样条光顺及数值微分木散乱数据带自然边界条件二元样条光顺及数值微分木.pdfVIP

2013年 8月 计 算 数 学 第 35卷第 3期 Aug．，2013 MATHEM ATICA NUMERICA SINICA Vo1．35，No．3 散乱数据带自然边界条件二元样条 光顺及数值微分木1) 徐应祥 (中山大学新华学院，广州510520) 关履泰 (中山大学科学计算与计算机应用系，广州510275) 摘 要 考虑一种新的散乱数据带自然边界二元样条光顺问题．根据样条变分理论和 Hilbert空间样 条函数方法，构造出了显式的二元带自然边界光顺样条解，其表达式简单且系数可以由系数矩阵 对称正定的线性方程组确定．证明了解的存在和唯一性，讨论了收敛性和误差估计．并由此得到一 种新的基于散乱数据上的正则化二元数值微分的方法．最后，给出了一些数值例子对方法进行了 验证． 关键词：散乱数据；数值微分；自然样条 MR (2000)主题分类：41A15，65D07，65D17 1．引 言 数值微分广泛应用于图形图像处理，计算机视觉，计算力学等各个领域，因此其在科学研 究和应用中非常重要．众所周知，数值微分通常在Hadamard意义下是不适定的[1-4】．这就意 味着测量数据的微小误差，都可能引起导数计算结果的巨大误差．为得到较好的数值微分方 法，众多的学者都对此进行了研究并提出了多种不同的方法． 一 般地，实验观测所得的输入数据往往不是分布在某个网格上，也就是说，它们是散乱的， 没有规律的数据．如果想要在这些散乱数据上计算数值导数，就必须寻找稳定的数值微分方 法．在处理散乱数据 问题时，多元样条是极其有力的工具之一 [5-19J．1972年，P．J．Laurent总 结了用一元多项式 自然样条处理散乱数据的方法并提出了一元情形的Hilber空间上样条变 分理论 _17j．自1980年以来，李岳生和关履泰等人也开始对这个领域进行研究 [1116]．借助 Hilbert空间的变分样条，他们尝试将一元推广N-元情形，提出了散乱数据二元多项式 自然 样条，并究了矩形区域上广义混合样条空间中带离散边界条件和连续边界条件的散乱数据最 优多元样条拟合方法．近来，关履泰、许伟志等等研究了一类新的散乱数据二元 自然样条拟合 方法 1【2j，其 目标泛函非常简单，解是非张量积形式的二元多项式样条，具有紧凑的表达式，并 使能量泛函达极小，但没有讨论其存在唯一性和误差． 本文中，基于样条的变分理论 [17-19】和 Hilbert空间中的二元多项式样条 ，先引入了 一 个新带 自然边界条件二元样条光顺问题 P．在此问题中，被拟合函数在散乱点处的给定值 是一般的Hermit—Birkhoff型的，也就是说给定数据可以是函数值，也可以是某些阶的导数值． 2012年 10月31日收到． )基金项 目：国家 自然科学基金项 目 254 计 算 数 学 2013芷 事实上，此问题的解 盯()是一种新的二元多项式光顺 自然样条．在文中首先讨论了这种新 自然光顺样条0Ip()的特征，存在唯一性，然后具体构造出了其显式表达式，并分析了其基本 性质和讨论了其收敛性和误差．通过仔细的收敛性和误差分析，可以发现 ()及其导数能 够对给定的某个函数 ．厂()及其导数具有的良好近似，从而得到了一个新的求二元数值微分的 有效途径．最后，用数值算例验证了这种通过构造新光顺样条进行拟合并用来求二元数值微 分之新途径的有效性． 2．二元带自然边界条件光顺样条及特征 给定 Ⅳ个两两不同的二元散乱数据点集 S= {(i，X2i)：i= 1，… ，Ⅳ)，设方型域为 2 Q= 兀a【i，]，及 S