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微分方程第5章习题解微分方程第5章习题解
第五章 线性微分方程组
5-1
5-1
55--11 考虑方程组
x
x
dxx
A x
A x
= AA(t) xx （1）
dt
其中A 是区间 上的连续 矩阵，它的元素为 ，
A
AA(t) a≤ t≤ b n×n a (t),i, j =1,2,⋯, n
ij
x x x
x x x
1）如果xx(t), xx (t),⋯, xx (t) 是（1）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式
1 2 n
W[x (t), x (t),⋯, x (t)] ≡W(t) 满足下面的一阶线性微分方程
1 2 n
W = [a (t) +a (t) +⋯+ a (t)]W （2）；′
11 22 nn
2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：
∫t [ a ( s) +⋯+a ( s)]ds
t0 11 nn
W(t) =W(t )e , t ,t∈[a,b] 。
0 0
证 1）根据行列式的微分公式
′ ′
x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t)
11 1n 11 1n 11 1n
′ ′
x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t)
W (t) =′ 21 2n + 21 2n +⋯+ 21 2 n （3）
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
′ ′
x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t)
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