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第一章 量子力学基础知识Chapter 1 The basic knowledge ofquantum mechanics 1.1 微观粒子的运动特征（The characteristic of the motion of microscopic particles） 1.2 量子力学基本假设（The basic assumptions (postulates) of quantum mechanics) 1.3箱中粒子的Schr?dinger方程及其解。（The Schr?dinger’s Equation and its solution of free particles in a one dimensional box） 1900年前后，许多实验事实得到证实： 只有当照射光的频率超过某个最小频率υ0（又称临阈频率)时，金属才能发射光电子，不同金属的υ0值不同，大多数金属的υ0值位于紫外区。 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。 Example1:以 的速度运动的电子，其 de Broglie 波长为 实验现象 1896年Zeeman（塞曼）效应 1921年Stern（斯特恩）和Gerlach（革拉赫）的实验。 量子力学处理受缚粒子的共同特征 粒子可以存在多种运动状态，它们由ψ1，ψ2，……，ψn等描述 能量量子化 存在零点能 没有经典运动轨道，只有概率分布 存在节点，节点多，能量高。 利用自轭算符的性质1可以得到 经典力学对于一个保守体系能量的表示： Hamilton（哈密顿）函数H， 其中T代表体系中粒子的平动能，V代表体系的势能。 将算符形式代入，可以得到Hamilton算符 其中 称为Laplace算符 利用算符 可以写成 Time-independent Schr?dinger’s function 这就是Schr?dinger方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函 数的方程，是量子力学中的一个基本方程，式中ψ不含时间，这种本征态 给出的概率密度，不随时间而改变，称为定态。这个本征态对应的本征值， 就是该状态的能量。 Time-dependent Schr?dinger’s function 含时的Schr?dinger方程，由于能量是时间的函数，所以 或 对一个微观体系，自轭算符 给出的本征函 数组ψ1，ψ2，ψ3，……，形成一个正交，归一 的函数组。 The Schr?dinger’s Equation is eigenvalue equation. The eigenvalue of a Hermitian operator is a real number. 2. The eigenfunctions of Hermitian operators are orthogonal. 性质2.自轭算符的属于不同本征值的本征函数相互正交。 正交是指 证明如下： 自轭算符的定义式如下 设有 则 代入定义式，得到 因此 前边已经假设 因此 故自轭算符的属于不同本征值的本征函数相互正交。 性质3.自轭算符的本征函数的全体构成一个正交归一的完备 集合，符合边界条件的任意函数均可向这组正交归一集合展 开，展成级数形式，例如，函数u1，u2，u3，……，un，组成一 组正交归一集，符合边界条件的任意函数ψ可以向它展开 其中展开系数 关于函数的归一化处理上边的课程已经提到，此处不在赘 述。 关于本征函数组的正交归一关系的表示： 文献中常用下边的表示： 当 当 称为Kronecker delta. 1.2.4态叠加原理 假设Ⅳ若ψ1，ψ2，……ψn为某一微观体系的可能状态， 则由它们线性组合所得的ψ也是该体系可能的状态 式中的c1，c2，……，cn为任意常数，称为线性组合系数。 Postulate 4 : If ψ1, ψ2,… ψn are the possible states of a microscopic system (a complete set), then the linear combination of these states is also a possible state of the system. 系数c的物理意义： 系数c1，c2，……，cn等数