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第7章 MATLAB数值积分与微分 7.1 数值积分 7.2 数值微分 　　　 在科学实验和生产实践中，经常需要求解函数f(x)在区间[a,b]上的定积分： 　　　 在高等数学中，应用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分: 　　　 但当被积函数的原函数无法用初等函数表示或被积函数为仅知离散点处函数值的离散函数时，不能用上述公式进行计算。 　　　 与积分问题类似，在微分学中，函数的导数是用极限来定义的，而如果一个函数是以数值给出的离散形式，那么它的导数就无法用极限运算方法求得，当然也就更无法用求导数的方法计算函数在某点处的导数。 因此，在许多实际问题中要采用数值方法来求函数的积分或微分。 　　　　　　7.1 数值积分 7.1.1 数值积分基本原理 　 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题: 每一个子区间上的定积分的值可以近似求得。下面介绍变步长辛普生法求定积分的原理： 　从梯形公式出发，利用将积分区间逐次分半的办法，分别计算出每个子区间的定积分近似值并求和。 　用Tm表示积分区间[a,b]被分为n=2m等分后形成的梯形值，这时，对应的子区间长度为： 经过计算得到： 一般地，若Tm-1已算出，则 　　　辛普生求积公式为 　　　根据上述递推公式，不断计算积分近似值，直到相邻两次的积分近似值Sm和Sm-1满足如下条件为止： 7.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例7-1 求定积分： (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad(‘fesin’,0,3*pi) 或者@fesin S = 0.9008 n = 77 　　　也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数（内联函数）求解， 　命令如下： g=inline(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)); %定义语句函数 [S,n]=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加‘号或@符号 　S = 　 0.9008 　n = 　77 此外，还可使用下列命令形式： [S,n]=quad(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6),0,3*pi) 以及符号计算方法： clc,clear syms x s=int(exp(-0.5*x)*sin(x+pi/6),0,3*pi) s1=eval(s) 2．牛顿－柯特斯法 　　　基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quadl(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 例7-2 分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 1.调用函数quad求定积分： clc,clear format long; fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65 2.调用函数quadl求定积分： clc,clear format long; fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10