§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答.docVIP

§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答 1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性 (1) ，； (2) ； (3) ； (4) ① ② ； (5) ① ② ； (6) ； (7) (8) ； (9) ； (10) ； (11) ① ② 。 解 (1) ，由于，于是 ， 所以在上一致收敛。 (2) 对于， 所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 (3) 对于，所以极限函数 。 所以在不一致收敛。 (4) ①对于，所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 ② 同理：在上一致收敛。 (5) ①对于，所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 ② 同理：在上一致收敛。 (6) ，有，即，极限函数。 。 显然，，即函数列在区间一致收敛。 (7) 对于，所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 (8) 对于，所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 (9) ，由于，且 ， 于是 ，所以在上一致收敛。 (10) 对于，所以极限函数 。 所以在上一致收敛。 2．证明函数：(1) 在区间一致收敛； (2) 在区间非一致收敛。 证明 ，有，即函数列在的极限函数 。 (1) ，要使不等式 成立，从不等式，解得，于是， ，有 ， 即函数列在一致收敛。 (2) ，有 ， 即函数列在非一致收敛。 3．判别下列函数列在区间的一致收敛性． 1） 2） 解： 1），有，即，极限函数。 。 显然，，即函数列在区间一致收敛。 2），有，即。设函数 。 函数 在闭区间连续，必取得最大值。 。 令　，解得稳定点1与。 。 于是，是函数的极大点，最大值（极大值）是。有 。 即函数列在非一致收敛。 4．设在上有界，并且在上一致收敛， 求证：在上一致有界。 5．设定义于，令 。 求证：在上一致收敛于。 6．设在内有连续的导数，且 求证：在闭区间上，一致收敛于。 7．设在上Riemann可积，定义函数序列 求证：在上一致收敛于零。 8．证明序列在闭区间上收敛，但 9．设在一致连续，且在一致收敛于。 求证：在上一致连续。 10．设是上的连续函数列，且在一致收敛于； 又，满足，求证 11．设在内一致收敛于，且 。 证明：和存在且相等，即 。 12．设在Riemann可积，且在一致收敛于，证明：在Riemann可积。 13．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： (1) ； 解 记故当时，原级数收敛。当它不趋于0.故原级数发散 当再根据上面的讨论故原级数绝对收敛。总之，当时，原级数绝对收敛。 (2) ； 解 由于 ， 故仅当时，即或，级数绝对收敛，解不等式得:。即为所求的绝对收敛域.当时，原级数通项不趋于0，故发散。 (3) ； 解 由于 故仅当时级数绝对收敛。当时，原级数为，显见它为条件收敛。当时，原级数通项不趋 于0，故发散。 (4) ； 解 ，有。已知级数收敛，根据比较判别法，函数级数都收敛。于是，它的收敛域是。 (5) ； 解 由知，，函数级数收敛；，级数发散。于是，它的收敛域是。 14．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： (1) ； (2) 。 15．讨论下列函数项级数的一致收敛性： (1) (2) ； (3) ，； (4) (5) (6) (7) (8) ； (9) (10) (11) 。 解 (1) 设，则当时，，由于收敛，由Weierstrass判别法，在上一致收敛。 (2) 设，则当时，，由于收敛，由Weierstrass判别法，在上一致收敛。 (3) 设，，则对固定的关于是单调的，且在上一致收敛于零，同时，由Dirichlet判别法，在上一致收敛。 (5) 当时，级数显然收敛于0，当时，，于是，又收敛，所以原级数一致收敛。 (6) 当 对于级数，应用比值判别法，当 故收敛。因此级数一致收敛。 (7) 当 收敛，所以原级数一致收敛。 (8) 当，有 当时，，而收敛，及也收敛，故级数一致收敛。 16．讨论下列函数项级数的一致收敛性： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 17．讨论函数级数在区间的一致收敛性。 解 应用定理1，，即要使不等式 成立。从不等式，解得。取。于是， ，有 ， 即函数级数在