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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(15-09):直线与向量(383) 993 直线与向量 [母题]Ⅰ(15-09):(《必修Ⅳ》(人教版)P133复习参考题.B组第9题)平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.如图: y 设直线l的倾斜角为α(α≠900).在l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2, P2 y2),不妨设向量的方向是向上的,那么向量的坐标是(x2-x1,y2-y1); P P1 过原点作向量=,则点P的坐标是(x2-x1,y2-y1),而且直线OP的倾斜角 O x 也是α.根据正切函数的定义得:tanα=,这就是《数学Ⅱ》中已经得到的斜率公式;上述推导过程比《数学Ⅱ》中的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？例如: ⑴过点P0(x0,y0),平行于向量a=(a1,a2)的直线方程; ⑵向量(A,B)与直线Ax+By+C=0的关系; ⑶设直线l1和l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,那么,l1∥l2,l1⊥l2的条件各是什么？如果它们相交, 如何得到它们的夹角公式？ ⑷点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式如何推导？ [解析]:我们首先明确:①与直线l平行的向量n,称为直线l的方向向量;②与直线l垂直的向量m,称为直线l的法向量;首先求方向向量:在直线Ax+By+C=0上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0,两式相减得: A(x1-x2)+B(y1,y2)=0;设y1-y2=At,则x1-x2=-Bt(t≠0)直线l的方向向量n∥=(x2-x1,y2-y1)=(Bt,-At)∥(B,-A)直线l的方向向量n=(B,-A)直线l的法向量m=(A,B); ⑴由直线平行于向量a=(a1,a2),可设直线方程:a2x-a1x+λ=0,把点P0(x0,y0)代入得a2x0-a1y0+λ=0λ=-a2x0+a1y0直线方程:a2x-a1x-a2x0+a1y0=0; ⑵由直线l:Ax+By+C=0的法向量m=(A,B)向量(A,B)与直线Ax+By+C=0垂直; ⑶因直线l1:A1x+B1y+C1=0的法向量m1=(A1,B1),直线l2:A2x+B2y+C2=0的法向量m2=(A2,B2),则l1∥l2m1∥m2,且l1与l2不重合A1:A2=B1:B2,且l1与l2不重合A1:A2=B1:B2≠C1:C2;l1⊥l2m1⊥m2A1A2+B1B2=0;由l1与l2的夹角θ=m1与m2的夹角α或其补角cosθ=|cosα|==; ⑷由直线l:Ax+By+C=0的法向量m=(A,B),在直线l上任取一点P(x1,y1),则Ax1+By1+C=0,点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=向量在上的射影的绝对值=|||cos,m|===. [点评]:利用教材中的本题可建立直线与向量的系统联系,其中要掌握:如果直线l的法向量m=(x0,y0)(y0≠0),则直线l的斜率k=-0;如果直线l的方向向量n=(x0,y0)(x0≠0),则直线l的斜率k=. [子题](1):(2012年上海高考试题)若n=(-2,1)是直线l的一个法向量,则l的倾斜角的大小为 (结果用反三角 函数值表示). [解析]:由直线l的一个法向量n=(-2,1)k=2tanα=2,α为l的倾斜角. 994 [母题]Ⅰ(15-09):直线与向量(383) 注:掌握直线l的方向向量、法向量与斜率的关系,是灵活利用方向向量、法向量的基础. [子题](2):(2003年安徽春招试题)己知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N=(