一元二次不等式与线性规划基础知识梳理.docVIP

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教 材 面 面 观基础知识常梳理　自主探究强记忆 1．二元一次不等式表示________(直线定边界、选点定区域)． 一般地，若Ax＋By＋C＞0，则当B＞0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的________；当B＜0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的________．若Ax＋By＋C＜0，与上述情况相反． 答案　平面区域　上方　下方 2．线性规划 (1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是________，则约束条件又称为线性约束条件； (2)目标函数、线性目标函数：欲达到__________，叫做目标函数．如果这个解析式是____________________，则目标函数又称为线性目标函数； (3)线性规划：求线性目标函数在__________的问题，统称为线性规划问题； (4)可行域：____________________叫做可行解，________叫做可行域； (5)最优解：分别使目标函数取得__________的解，叫做这个问题的最优解． 答案　(1)关于x、y的一次不等式　(2)最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式　关于x、y的一次解析式　(3)线性约束条件下的最大值或最小值　(4)满足线性约束条件的解(x，y)　由所有可行解组成的集合　(5)最大值和最小值 3．求解线性规划问题的基本程序是作________，画________，解________，求________． 答案　可行域　平行线　方程组　最值 考 点 串 串 讲考点归纳与解析　思维拓展与迁移 1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)． (3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明： ①用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域，能使问题更加清楚、准确、便于理解． ②Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；Ax＋By＋C≥0表示的是直线Ax＋By＋C＝0及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界． ③画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点． ④画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面点集的交集，即它们的平面区域的公共部分． ⑤在直线l：Ax＋By＋C＝0外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”． 2．线性规划 (1)线性规划的有关概念 ①约束条件：由x、y的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的约束条件． ②线性约束条件：关于x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的线性约束条件． ③目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式． ④线性目标函数：目标函数为x、y的一次解析式． ⑤线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． ⑥可行解：满足线性约束条件的解(x，y)． ⑦可行域：所有可行解组成的集合． ⑧最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. ②平移：将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值． (3)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到． (4)求目标函数z＝ax＋by的最值，要把z与直线y＝－x＋的截距联系起来去理解． (5)线性规划的图解法及其应用． 图解法的步骤： ①求可行解——即可行域． 将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)． ②作出目标函数的等值线． 目标函数z＝ax＋by(a、b∈R且a、b为常数)，当z是一个指定的常数