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第二章 二 体 问 题 天体力学基础 Kepler三大定律的数学化： 1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为 2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等 3rd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比 k对所有的行星而言是同一常数 2.1.1万有引力定律 万有引力定律的推导 极坐标中加速度可以写成径向和横向分量： (Binet公式) 将第一定律的数学表达式代入上式： 由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比 2.1.1万有引力定律 引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成 面积常数h可以通过计算行星运动一周来计算： 因此 由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。 G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为： 2.1.1万有引力定律 Kepler第三定律在太阳系内的体现. 2.1.1万有引力定律 牛顿引力作用下的两个质点的运动 惯性坐标系下 2.1.2 二体运动方程及经典积分 两式相加并积分 质心坐标可以写出： 所以由常向量a,b得到质心运动： 2.1.2 二体运动方程及经典积分 两式相减： 得到相对运动方程： 2.1.2 二体运动方程及经典积分 得到此式无需力的平方反比关系 h 定义了二体问题中的不变平面 2.1.2 二体运动方程及经典积分 运动发生在不变平面上，因此可以定义极坐标： 在极坐标系中，角动量积分表现为： 常数 2.1.2 二体运动方程及经典积分 极坐标系下的Kepler第二定律： 由此可以理解二体运动近日点和远日点速度的情况 2.1.2 二体运动方程及经典积分 积分上式，得到： 活力积分，代表能量守恒 又得到1个积分常数,但后面将看到它不是独立的积分 2.1.2 二体运动方程及经典积分 最后两个积分常数 由相对运动方程及极坐标下的加速度表示 得到： 为了解此方程，我们作变换 方程最终变成: 2.1.2 二体运动方程及经典积分 最终的解: 更加常见的形式: 半通径 偏心率 近点角距 对椭圆： 2.1.2 二体运动方程及经典积分 2.1.2 二体运动方程及经典积分 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *