【精选】2-减少误差的计算原则2-减少误差的计算原则.pptVIP

*/12 避免绝对值小的数作除数 避免两个相近的数据相减 要防止大数“吃掉”小数 尽量减少计算工作量 选用数值稳定性好的算法 二、数值计算中的一些基本原则 避免绝对值小的数作除数 这一原则主要指尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 设 （ x≠0），如果 x 的绝对值远小于 y 的绝对值，由于 避免两个相近的数据相减 如果 y ≈ x，现分析两个数的近似数作减法所得结果的误差. 设 z= y – x，则利用误差估计 有相对误差估计 当 y ≈ x 时，有 z≈0，计算结果的相对误差限可能很大，导致数值计算结果的有效数字位数减少。 要防止大数“吃掉”小数 一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加时，很可能发生所谓“大数吃小数”的现象。 例如，a= 1013，b= 4，设想这两个数在具有12位浮点数计算机系统（12位有效位数系）中相加 a + b= 1013 + 4=1. 0000000000000 ×1013 +0. 0000000000004 ×1013 实际加法操作如下 尽量减少计算工作量 在考虑算法时应注意简化计算步骤，减少运算次数 。 计算工作量小的算法不仅节约运行时间，而且使误差积累小。 算法一： S 0= a0 ， Sk= Sk－1 + ak xk ，（ k= 1，2，…，n ） Pn（x）= Sn 例2 设计算法用于计算多项式 计算一个 n 次多项值需要用 2n 次乘法。 尽量减少计算工作量 算法二： Sn= an， Sk－1= a k －1+ xSk，（k= n，n－1，…，1）， Pn（x）= S0 另一种典型算法是秦九韶算法 计算一个 n 次多项值需要用 n 次乘法。 选用数值稳定性好的算法 不同的算法在执行过程中对数据误差的影响是不一样的。舍入误差对计算结果影响不大的算法被称为数值稳定的算法. 例3 利用递推式计算定积分 ( n= 0， 1， 2， …， 20 )的值。 得递推关系式 算法一： 其中 利用递推式可得20个数据如下表： S 1 0. 36787944117144 S 11 0. 07735222935878 S 2 0. 26424111765712 S 12 0. 07177324769464 S 3 0. 20727664702865 S 13 0. 06694777996972 S 4 0. 17089341188538 S 14 0. 06273108042387 S 5 0. 14553294057308 S 15 0. 05903379364190 S 6 0. 12680235656152 S 16 0. 05545930172957 S 7 0. 11238350406936 S 17 0. 05719187059731 S 8 0. 10093196744509 S 18 -0. 02945367075154 S 9 0. 09161229299417 S 19 1. 55961974427919 S 10 0. 08387707005829 S 20 -30. 19239488558378 对积分值有估计式： 算法二： 有 由递推公式 由In 的估计式 取 有 利用递推式可得20个数据如下表： S 1 0. 36787944117144 S 11 0. 07735222886266 S 2 0. 26424111765712 S 12 0. 07177325364803 S 3 0. 20727664702865 S 13 0. 06694770257562 S 4 0. 17089341188538 S 14 0. 06273216394138 S 5 0. 14553294057308 S 15 0. 05901754087930 S 6 0. 12680235656153 S 16 0. 05571934593124 S 7 0. 11238350406930 S 17 0. 05277111916899 S 8 0. 10093196744559 S 18 0. 05011985495809 S 9 0. 09161229298966 S 19 0. 04772275579621 S 10 0. 08387707010339 S 20 0. 04554488407582 */12