n维散乱数据带自然边界条件多元多项式样条插值n维散乱数据带自然边界条件多元多项式样条插值.pdfVIP

2014年 11月 计 算 数 学 第 36卷第 4期 NOV．，2014 MATHEMATICA NUM ERICA SINICA Vo1．36，No．4 维散乱数据带自然边界条件 多元多项式样条插值 ) 徐应祥 (中山大学新华学院，广州510520) 摘 要 考虑 佗维散乱数据 Hermit—Birkhoff型插值问题，在使给定的目标泛极小的条件下，构造了 一 种带自然边界条件的多元多项式样条函数插值方法．重点研究了插值问题解的特征，存在唯一 性和构造方法，并讨论了收敛性及误差，最后给出了一些数值算例对方法进行验证． 关键词：散乱数据；自然边界条件；多元多项式；自然样条；插值 MR (2000)主题分类：41A15，65D07，65D17 1．引 言 散乱数据拟合在汽车外形设计、地质探矿、数据压缩、医学图形图像处理、模式识别 等 [1-4许多领域中都有广泛的应用．从上世纪60年代以来，散乱数据 曲面插值问题得到了众 多的科技工作者的广泛关注，并进行了一系列的研究．已经有许多的方法被提出并在各 自的 应用领域得到了良好的效果 4[-13]．已有的散乱数据拟合方法大多是解决二元散乱数据拟合问 题的．这些已有的散乱数据拟合方法大致可以分为三个类型：在对区域进行某种形式剖分的基 础上，通过构造分片函数来实现整体的拟合的局部方法，如最早的Shepard方法，自然邻域方 法等；不进行剖分，直接构造整体拟合函数的整体方法，如薄板样条方法，径向基函数方法等； 不属于以上两类的其他方法，如多步法，移动最小二乘方法等． 随着科学技术的进步，在动画设计，动态医学图象处理等许多实际应用问题中都出现了三 维及三维以上的散乱数据拟合问题．然而对于多元散乱数据，特别是三维以上散乱数据插值 问题的解决仍不够理想，这主要是两方面的原因造成的：一是基于剖分的方法很难向高维推 广，这主要是因为对于高维区域如何进行有效的剖分是一件非常困难的事情；二是能够推广到 高维的方法，如径 向基函数方法，大多都不是多项式形式的，在计算 中方法本身的舍入误差不 可避免．因此，对于一般的佗维散乱数据拟合问题，能否找到更有效的多项式方法也是值得研 究的问题． 由于一元样条函数能很好地解决一元散乱数据插值问题 [14]，有一系列 良好的性质．能否 将一元样条的方法进行推广，得到多元的样条函数，为解决多元散乱数据拟合带来方便，也是 一 个值研究的问题．在进行多元样条理论研究方面，王仁宏和C．K．Chui等利用代数几何工具 构造了光滑余因子的方法 5_】．DeBoor，L．L．Schumaker，M．J．Lai及 T．x．He等学者也提出 了顶点样条和箱样条的方法 [18-22]．但这些方法仍是基于对区域进行剖分基础上的，在多元情 形下实现仍是较为困难．在对一元样条的研究过程中发现其有 良好的变分性质．李岳生，关履 2013年 l0月 20日收到． )基金项 目：国家 自然科学基金项 目 408 计 算 数 学 泰等从上世纪八十年代起从另一个角度对一元样条推广，提出了散乱数据的二元多项式 自然 样条进行了一系列的研究，这类方法能够推广到一般的多元情形，但是这类样条的目标泛函 比较复杂，带有一系列的积分项，而且在很多情况下，如果区域边界没有插值点或者插值点很 少，则插值效果会比较差 [23-27】．为了克服这些缺点，关履泰，许伟志和朱庆勇等研究了一类新 的二元 自然样条插值方法，该方法的目标泛函较为简单，没有离散边界插值点，更符合实际情 况 2[8291．由于三变量的散乱数据拟合问题比二变量的更复杂许多，目前只有径向基函数方法 比较可行 _12J．2011年，徐应祥，关履泰又将这种方法推广为三元散乱数据带 自然边界条件三 元多项式样条插值方法 _30j，讨论了插值解的存在唯一性及其性质，并给出了收敛性和误差估 计 ． 在