傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法.doc

傅里叶变换 周期函数可表示为： 其中： 周期函数的周期为。频率，角频率，为正整数。 周期函数的直流分量。为各次谐波的频率。 周期函数可化为：(三角函数公式：) 其中： 即周期函数可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率为基波的频率。 根据欧拉公式，有： 所以周期函数可表示为： = 而 = = = = = 令 为正整数 则 当 取整数时，可以合写为一个式子 （n = 0, ±1，±2，...） 所以有 为整数 非周期函数，当时，有 所以 取，，当时，。 从而 亦即 令 则 = = 因此有 (1) (2) 称式(1)中函数为函数的傅里叶变换，式(2)中函数为函数的傅里叶逆变换。函数即为函数的频谱。 图1 是函数y1和y2的函数图。其中 y1=sin(t)。 y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。 y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。 图1 谐波分量图 图2 是偶次谐波的函数图。 图2 偶次谐波图 图3 是偶次谐波的频谱图。 图3 偶次谐波频谱图 图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。 图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图 傅里叶分析在电路上的应用 函数的傅里叶变换记为 ，函数的傅里叶变换记为，即，。 则有 傅里叶变换的线性性质 = 傅里叶变换的微分性质 傅里叶变换的积分性质 电路上的一个例子。 有一段RLC电路如图5所示 图5 RLC电路 求电路的电流 ，列方程有 函数的傅里叶变换为，函数的傅里叶变换为，对方程两边做傅里叶变换，有 求得 求的傅里叶逆变换得 代入具体的参数值，即可求得电路的电流。 函数的卷积 已知函数，，则积分 称为函数和的卷积，记为 按傅里叶变换的定义，有 = = = = = = 即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。 数字低通滤波器的设计 模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。 图6 模拟二阶低通滤波器电路 用傅里叶变换分析电路，可以证明 其中，。设 则有 函数为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。为放大系数，为滤波器的截止角频率，为滤波器的品质因数。 取，，，则， ，，。函数的频谱图如图7所示。 图7 函数的频谱图() 特别的，取，，则, ，函数的频谱图如图8所 示。 图8 函数的频谱图() 取, 的参数，当， 求得。即为函数 的半功率点。 函数的零极点图如图9所示。时极点位于左半平面。 图9 函数的零极点图() 特别的，当，时，。当时，，函数的零极点位于右半平面。取，函数的零极点图如图10所示。 函数极点位于右半平面。 图10 函数的零极点图() 函数的相频图如图11所示。 图11函数的相频图 将函数级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。 图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图() 由，根据卷积定理得。在频域上对函数采样，并对函数做傅里叶逆变换得 。二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数的图形如图13所示。 对函数和函数做卷积运算，求得函数，即通过数字滤波器滤波后的结果。函数和函数的图形如图15所示。 图14是函数的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。 图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。函数和图6中模拟电路给出的结果是一致的。 图13时域上的传递函数 图14 滤波器的相位延时 图15 函数和函数 图16 模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果 标准表的计算公式 电压表达式： 电流表达式： 电压有效值 电流有效值 瞬时有功功率 平均有功功率 瞬时无功功率 (注) 平均无功功率 视在功率 功率因数 (注) 有功电能 无功电能 视在电能 脉冲频率 离散傅里叶变换DFT) 离散傅里叶变换的逆变换IDFT) 奈奎斯特采样定理 标准表的插值算法 定频采样的同步问题需要插值算法。对采样到的波形分段插值。一副正弦曲线图 用线性分段插值后的图形如下。 将线性分段插值的图像局部放大，如下图所示。 使用三次样条插值算法，得到的图形如下 将三次样条插值的图像局部放大，如下图所示。