向量外积与四元数.PDFVIP

向量外積與四元數 ◎李白飛／台灣大學數學系 1. 向量的外積 有 「內積」就應該有「外積」，聽起來似乎理所當然，其實並不盡然，只有三維空間中， 才有外積的定義。再說「內」、「外」之分，似乎是歷史的錯誤；兩個向量的內積，並不是 個向量，而是個純量（數），然而兩個三維向量的外積，卻仍是個向量，絲毫不見「外」。 在三維空間中，兩個向量的外積，可以自然地描述，也可以藉由坐標來定義。設a,b 為空 間中兩個不平行的非零向量，其外積a × b 為一長度等於| a || b | sin θ ，（θ 為 兩者交角，且 a,b 0 θ π ），而與 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由a 的方 a,b 向轉為b 的方向時，大拇指所指的方向規定為a × b 的方向。例如在右手系的空間坐標中，若 i, j, k 分別代表x 軸、y 軸、z 軸正向的單位向量，則 i × j = k, j × k = i, k × i = j 另外，顯而易見的是，a,b 的外積與其次序有關，b × a 並不等於a × b ；事實上，b × a = −a × b 。 當 中有一個零，或者兩者平行時，則令a × b = 0 。 a,b 如果選定一組坐標系，i, j, k 為對應的三正交單位向量，則a 與b 的外積，可藉由其分量 表示出來：若 ， ，則 a = a i + a j + a k b = b i + b j + b k 1 2 3 1 2 3 a × b = (a b − a b )i + (a b − a b ) j + (a b − a b )k 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 假使我們借用行列式的符號，不妨把它寫成 i j k a1 a2 a3 (＊) b b b 1 2 3 不但容易記，而且也可以經由行列式的性質，驗證一些外積的性質。 這兩個方法，各有千秋，前者易懂，後者好算。借助於坐標化，我們可以透過機械的運 算(可能繁但不會難)，驗證一些類似