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双曲线及其标准方程 教材教法 一、教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导． （1）双曲线的标准方程是在其定义的基础上推导的，所以我们对双曲线的定义应给与重视．双曲线的定义与椭圆定义类似，在理解时应注意： ①注意定义中的条件的限定．若，则动点的轨迹为两条射线；若，则轨迹不存在． ②注意定义中的关键词“绝对值”．事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支． 双曲线是平面内的点的集合，,如果,双曲线将变成两条射线. （2）根据双曲线定义求双曲线的标准方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似，但应注意椭圆标准方程的推导中，是令；而在双曲线标准方程的推导过程中，是令．，，之间的关系不同，不要搞混． （3）为什么要引入？这不仅是化简的需要，而且还有几何的实际背景，就是虚轴的长． （4）两种标准方程的双曲线的异同 中心在原点，焦点在轴、轴上的双曲线标准方程分别是，．这两种双曲线的相同点是形状、大小相同，都有，不同点是两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同． 双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正； 双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正； （5）在椭圆与双曲线的标准方程中，前者，后者无大小关系．根据椭圆与双曲线标准方程判定焦点在哪条坐标轴上，前者是根据项分母的大小来判定，后者是根据项系数的正负来判定． （6）形如的方程，只要符号相反，就是双曲线方程．它可以化为． （7）求双曲线的标准方程需要“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程，就要求出、两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于、的方程组，解得、的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指、、等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了、在方程中的位置． 二、教法建议 （1）讲解双曲线的定义和标准方程，建议采用类比的教学方法，参照讲解椭圆定义及标准方程来讲解； （2）教学中要注意启发学生的学习兴趣，在学生力所能及的情况下，尽量让学生自己去解决问题，培养学生的思考问题、分析问题和解决问题的能力； （3）在引入双曲线的定义时，要注意对比椭圆的定义，讲清常数与焦点间距离的大小关系影响轨迹的形状，要让学生注意轨迹是双曲线的一支的情况； （4）讲解双曲线的定义时，可以设置如下问题来帮助理解：问题一：如果点到平面内两个定点、满足条件，则它的轨迹一定是双曲线吗？问题二：反过来，如果平面内一个点的轨迹是双曲线，一定有这一条件吗？ （5）提供以下题目以熟练双曲线的定义． ①方程表示什么曲线．答案：双曲线； ②方程表示什么曲线．答案：双曲线的右支； ③方程表示什么曲线？答案：以点（0，4）为端点，沿着轴正向的一条射线； （6）教学时可以让学生利用双曲线的定义，亲自绘制一个双曲线，从中体会到轨迹是双曲线的条件，学生通过具体实际操作过程，不难发现并得出满足且条件时，才能是双曲线，反过来，也可以得到．如果点的轨迹是双曲线，一定有这一条件成立．教师可以总结“动点到两个定点、的距离差的绝对值”是“点轨迹是双曲线”的必要而不充分条件． （7）在推导双曲线的标准方程时，由于学生有推导椭圆的标准方程的基础，所以可以让学生自己挑选坐标系，推导出双曲线的标准方程； （8）教师要引导学生认清双曲线的基本量的个数是两个，通常我们选取和,其余量．确定了和，双曲线的大小、形状随之而定，同样确定一个双曲线的标准方程，也需要两个独立条件，当条件简单时，可直接求出和，再代入双曲线的标准方程，当条件复杂时，可先设出双曲线的标准方程，用待定系数法解决和. （9）让学生根据双曲线的定义或标准方程，设计一种画双曲线的方法．