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概率统计与随机过程随机事件及其概率随机试验（简称试验）：重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间S。样本空间中的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。随机事件（简称事件）：随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件。在一次实验中，当且仅当这一子集中的某个样本点出现时，称这一事件发生。只含有一个样本点的事件称为基本事件；样本空间包含所有的样本点，称为必然事件；不包含任何样本点的事件称为不可能事件。随机事件间的关系包含关系：B?A称B事件在A事件中，表示若B发生必然导致A发生相等关系：A、B相互包含，则B=A事件的和：A∪B，表示A、B中至少有一个发生事件的积：A∩B，简记为AB，表示A、B都发生事件的差：A-B={x∈A且x?B}，表示A事件发生且B事件不发生互不相容（互斥）：A∩B=φ，表示A、B不可能同时发生互逆关系（对立）：A∪B=S,A∩B=φ，记为A=B或B=A运算规律交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：A∪B∪C=(A∪B)∪CA∩B∩C=(A∩B)∩C分配律：A∪B∩C=A∪B∩(A∪C)A∩B∪C=A∩B∪(A∩C)对偶律：A∪B=A∩BA∩B=A∪B若B?A，则PA=PB∪A-B=PB+PA-B?PA-B=PA-P(B)古典概率模型，简称古典概型（又称等可能概率模型）：试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同。超几何分布：PA=Cn1m1Cn2m2Cnm条件概率：P(A|B)，表示B发生的条件下，A发生的条件概率a)PAB=P(AB)P(B)如果A1、A2、…、Ai两两互不相容，则：Pi=1∞AiB=i=1∞P(AiB乘法公式：PA1A2…An=PA1PA2A1PA3A1A2…P(An|A1A2…An-1)全概率公式：PA=PB1PAB1+PB2PAB2+…+PBnP(A|Bn)其中B1,…,Bn互不相容，且S=B1∪B2∪…∪Bn贝叶斯公式：PBiA=P(ABi)P(A)=PBiP(A|Bi)j=1nPBjP(A|Bj),i=1,2,3,…,n事件的独立性：PAB=PAP(B)二项概率公式：Pnk=Cnkpk(1-p)n-k随机变量及其分布设S={e}为随机试验E的样本空间。如果对于每一个e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的实值单值函数X(e)，称X(e)为定义在S上的一个随机变量，简记为X。可得，随机变量是一个函数。离散型随机变量：全部可能取值为有限个或可列多个的随机变量。非离散型随机变量：随机变量除去离散型随机变量外的。其中最重要的是连续型随机变量。设X是随机变量，X的所有可能取值为x1,…,xk,…，且X取各值的概率为PX=xk=pk，则称该式为随机变量X的概率分布或分布律。常见的离散型随机变量的分布0—1分布/两点分布：X~B(1,p)X的所有可能取值为0与1，且它的分布律为PX=k=pk(1-p)1-kX0 1 P1-p p二项分布：X~B(n,p)X所有可能取值为非负整数，PX=k=Cnkpk(1-p)n-k当k=[(n+1)p]时，P(X=k)取得最大值泊松定理：设Xn~B(n,pn)，且limn→∞npn=λ0为常数，则对于任意固定的非负整数k有：limn→∞PXn=k=limn→∞Cnkpk(1-pn)n-k=λke-λk!泊松分布：X~π(λ)，X为非负整数PX=k=λke-λk!k=λ时，PX=k取得最大值几何分布：X~G(p)X可能取值为一切自然数，PX=k=(1-p)k-1p在实际工作中，抽样一般都是不放回抽样，因此计算时理论上应该用超几何分布。但是，当产品数N很大是，超几何分布的计算非常繁琐，在实际应用中只要产品数N≥10n(n为抽出的样品数)，超几何分布就可以用二项分布来近似,可以证明：当p=limN→∞MN时，limn→∞CMkCN-Mn-kCNn=Cnkpk(1-p)n-k设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数Fx=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。F(x)是单调不减函数F-∞=limx→-∞Fx=0,F+∞=limx→+∞Fx=1F(x)是右连续的对于任意一个随机变量X，如果X的分布函数F(x)在x=x0处连续，则PX=x0=0离散型随机变量的分布函数：Fx=PX≤x=xk≤xP(X=xk)=xk≤xpk设随机变量X的分布函数是F(x)，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，有：Fx=-∞xfxdx则称X为连续性随机变量，f(x)为概率密度函数