离散时间信号的傅里叶变换教学教案讲义.docx

第三章 离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目 录第三章 离散时间信号的傅里叶变换2教学目标23.1引言23.2傅里叶级数CFS33.2.1傅里叶级数CFS定义33.2.2傅里叶级数CFS性质53.3傅里叶变换CFT63.3.1傅里叶变换CFT定义63.3.2傅里叶变换CFT的性质73.4离散时间信号傅里叶变换DTFT83.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义83.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质83.5周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)123.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义133.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质173.6离散傅里叶变换(DFT)193.6.1离散傅里叶变换(DFT)193.6.2离散傅里叶变换的性质213.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系233.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析253.9实验28本章小结30习题31参考文献：34第三章 离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。傅里叶的两个最主要的贡献：1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和；2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0周期函数可以用一系列简单的/wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6正弦、/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。 根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（Fourier Series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time Fourier series, CTFS），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series，DTFS）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time Fourier transform, CTFT），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）。基础知识一、周期函数先从周期函数开始讨论。设一个函数是周期性的，周期为T，如果有一个，()使等式成立，则称，T为的最小正周期。二、三角函数时间周期的经典例子是谐振荡器，先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起：()在这个表达式中，参数A是振幅，频率是f，相位是。如果将上式采样，即：()f为模拟频率，单位Hz，为采样周期，单位秒s，，为模拟角频率。关系表达式如下：()三、复指数函数欧拉公式，因为： ()所以正弦信号的复数形式数学定义如下：()傅里叶级数CFS3.2.1傅里叶级数CFS定义傅里叶的思想是，所有的周期函数都可以表示为正弦信号的加权和[8]，即：()是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用复指数的形式可表示为：()两边同时乘以，并从0到T积分，得到[8] ()再看：()这是一个周期为的函数[9]，当n=k时，结果为1,，因此式（10）可以写成：当n时等式（10）的结果为0。因此傅里叶系数Fourier coefficients可以写成：()故，其傅里叶变换对可以写为[10] ()()正交基和向量理解为了便于对傅里叶变换的理解，就要借用向量。首先复习几个概念。内积：对于两个向量，他们的内积就是各个分量相乘再求和。正交是内积为0的情况，在二维空间上可以