第九讲多元函数的极值主讲教师.pptVIP

求函数最大值和最小值的基本原则 工程中遇到的函数大部分是连续的, 或者能 保证在所讨论的区域内, 取到它的最大值或 最小值. 如果知道可微函数 的最大值或最小值 一定在区域 内达到, 函数在区域内又仅有 一个驻点, 则该驻点一定是最大值点或最小 值点. 如果 为有界闭区域, 则函 必在 上取到它的最大值和最小值. 数 例 例4 距离之平方和为最大及最小的点. 解 · 所求距离之平方和为 区域： 目标函数： 最值问题： 所讨论的问题归结为下面的优化问题: 区域: 目标函数: 最值问题: 求函数 在有界闭区域 上的最大、最小值 的一般步骤为： ※ ※ 先求函数 在开区域 上的极大、极小值点; 再求函数 在边界 上的极大、极小值点; ※ 将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值) 进行比较, 即可得出函数的最大、最小值. ※ 由方程组 得到驻点 且 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: 综上所述 ※ 边界上端点值： 区域: 目标函数: 最值问题: 所求最值点为：…… 以下的工作, 由学生自己完成. 区域: 目标函数: 最值问题: 例 例5 求内接于半径为 a 的球且有 最大体积的长方体 . 球面 解 选择坐标系, 使球心 位于坐标原点, 则球面方 程为 设所求长方体在第一 卦限中的顶点为 则长方体的三个棱边长是 长方体体积为 区域： 目标函数： 最值问题： 原问题归结为下面的优化问题: 区域： 目标函数： 最值问题： 由 解之得 由 解之得 应用题, 又仅有唯一的个驻点, 故该驻点即 为极值点, 从而所求球内接长方体的边长为 区域： 目标函数： 最值问题： 在上面例题中, 出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了. 什么问题? 目标函数中的变量必须满足一定的条件 这就是对目标函数的约束 应满足方程 对自变量附加一定条件的极值问题就 是有约束极值问题 . 例如, 上面讲的求球内接体积最大的 长方体的问题, 就是一个有约束的极值问 题: 长方体顶点必须位于球面上 , 其坐标 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . 三. 有约束极值（条件极值） 二.有约束极值（条件极值） 有约束极值(条件极值)的定义 若 有 ( 或 则称 为函数 在 约束条件 下的 极大值 (或极小值). 这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值. 这里的约束称为 等式约束. 按最优化技术，我们称待求极值的函数为目标函数。所求极值要么是极大值，要么是极小值，这时按最优化技术方式表示出来为max f(X)和min f(X)。虽然是用最大和最小表示的，但不是求最大、最小值，不过极值实际上是函数的局部最大、最小值。 与一元函数的情况一样，函数的极值实际上是函数的局部最大、最小值，与所讨论的范围密切相关。 我们对一般的n元函数来讨论。 三元及其以上的函数无几何意义可谈。 我们对一般的n元函数来讨论。 书中p154 定理2。 首先，我们要知道函数是不是一定在所讨论的区域上取到它的最大、最小值。这在前面已经介绍过一些定理和性质： 例如，有界闭区域上的连续函数，就在该区域上取到它的最大、最小值。 遇到问题首先是分析，找出目标函数和所论及的区域，然后再按步骤，一步一步地求解。 这个问题中实际上有一个限制，即所求点必须在三角形内部。 就是说，我们利用变量间的关系将有约束的极值问题转变为无约束极值问题求解。这种做法是不是永远可行呢？ 答案是肯定的：不行！于是我们必须讨论求解有约束极值的方法。 除了变量代换法外，常用的求解带等式约束的极值问题的方法还有拉格朗日乘数法。 我们再看一个变量代换法的例题。 高等院校非数学类本科数学课程 —— 多元微积分学 大 学 数 学（三） 脚本编写：彭亚新 课件制作：彭亚新 第九讲 多元函数的极值 主讲教师：彭亚新 第一章 多元函数微分学 第九节 多元函数的极值 正确理解无约束极值和条件极值的概念。 能熟练地求出函数的无约束极值。 能熟练地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。 能熟练地计算函数的最大值、最小值。 能解简单的极值应用问题。 本节教学要求： 请点击 第五节 多元函数的极值 多元函数的极值 无约束极值 有约束极值 变量替代法 拉格朗日乘数法 无约束极值的形式 目标函数： 表现形式： 一.无约束极值 设 在 内有定义. 若 总有 则称 为函数 的极大值(