对质心的动能定理.docVIP

三、对质心的动能定理：质点组相对质心平动参考系的动能变化定理就称为对质心的动能定理。质心平动参考系一般来说不是惯性系，但是可以证明相对质心的动能定理在形式上和上次课讲到的惯性系中的动能定理一样。现在我们先来找出质点组对质心的动能和相对定点的动能之间的关系，这两者之间的关系就是柯尼希定理。柯尼希定理：如图所示：0-x、y、z是固定坐标系即惯性系，是质心平动坐标系[它不一定是惯性系，若作加速运动就是非惯性系}质点组内任一质点相对两个不同坐标系的位矢的关系是： 将此关系式两边对t求一次导数，然后代入质点组对定点O的动能表达式中去，则有： 我们在讨论对质心的动量矩定理时已经推导过： 左式右边中的第一项是质点组随质心一起平动时的动能，也就是质点组全部质量集中在质心而运动时的动能，所以就称它为质心动能。第二项是质点组中各个质点相对于质心运动时的动能，对刚体来说只能是相对质心的转动动能。这个等式表明，质点组对惯性系的动能T就等于它的质心的动能加上相对于质心的动能，这个关系就是著名的柯尼希定理。2、质心动能定理：有了柯尼希定理，也就可以着手推出质点组对质心的动能定理。上一次课我们已经推出了质点组对定点也就是惯性系的动能定理：和柯尼希定理：质点组对定点o的动能。并考虑到质点相对固定点的位矢与相对相对质心的位矢之间的关系：，我们将这两个关系式代到（1）式中去就可以得到： ∵ ∴这等式右边的第一项应等于零。又根据质心运动定理知∴ ∴等式右边的第三项和等式左边的第一项就可抵消掉，于是上面的等式就可写成： 就是质点组相对质心的动能，如果令它为T′的话： 则上式又可简单地写成：，此等式表明了质点相对质心的动能的微分就等于质点组相对质心位移时内力和外力所作的元功之和。因此它就是质点组对质心的动能定理，在形式上它与相对固定点的动能定理完全相同。但是我们要注意：只有在质心这个特殊的非惯性系中，质点组的动能与功的关系在形式上才和惯性系中一样，对于其他一般的非惯性系是不会有这样的结论。不管对哪一个物理定理应用时必须要注意到它的前提是什么，条件是什么，适用范围是什么，不能随意外推。对质心动能定理它的适用范围就是质心平动参考系，对一般的动点是不适用的。到这里为止，我们总共花了两次课多一点的时间，把质点组的三个基本定理讲完了。最后就三个基本定理作个小结，然后再举些具体例子来应用它的求解。三定理小结：……质点组的三个定理与质点的三个基本定理有什么区别？1、质点组的三个定理具有一个共同的特点，这个共同的特点是揭示了质点组的整体动力学性质。我们由前面对三个定理的推导过程可以看出，三个定理都是从质点运动微分方程 出发，然后按质点组的这一普通概念推出的。在推导过程中，并没有什么新的假定加入，又加上质点组本身没有什么特殊的限定，所以它们具有普通性意义，它们不仅适用于刚体，也适用于连续介质等各种不同的质点组。另一方面要注意，它们是不足以解决每一个质点的运动，这因为质点组的三个定理只说明了对质点组的运动与力的总体特征。动量定理只能给出三个标量方程。动量矩定理的标量方程也只有三个，动能定理是个标量关系式，所以动能定理的方程只有一个，加起来总共只有七个方程。然而，我们知道描写一个质点的运动需要3个独立坐标，也就是说一个质点有三个自由度。那么，2个质点的自由度就是6个，3个质点的自由度是9个，4个质点的自由度是12个，质点组内质点越多自由度也就越多。要想解出每个质点的运动，就需要建立与自由度数相等的独立方程，即3个定理只有7个方程[独立的只有6个]，当质点组内只有两个质点时，才可以用三个定理解出每个质点的运动。除此之外光靠三个定理是解不出来的，还得结合运用其它关系。[∴说三个定理是不足以解决每一个质点的运动的。]正是这种原因，好多书上都不讲它的具体应用，只是给出三个定理，其目的是为了讲刚体服务的，把它们只是作为研究刚体力学的基础。2、是刚体力学的基础。虽然有些书上不讲三个定理的具体应用，但是我想在课堂上还是有必要讲一下它的具体应用，也就是说：如何应用这三个定理来解题。3、如何解题：对比较简单的质点组动力学问题，我们可以直接应用质点组的三个定理来求解。①直接应用三定理。但是大部分质点组问题并不是这么简单的，不可能只利用这三个定理就可直接求出，除了要用这三个定理之外，还得加上质点组内各质点间的约束关系和配合其他定理的应用才能得到解决。②加约束关系，应用其他定理：找约束关系是有技巧的，这种技巧是没有统一的章法可循，只有通过多解题，多练习，才能熟能生巧。至于如何找约束关系下面会举例说明。三个定理除了直接分别应用之外，根据问题的需要也可联合起来使用。③三定理联合使用：这种题目就属综合性题目，有时还得④