2.3二维拉普拉斯方程的边值问题.pptVIP

§2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 课后作业 P54 习题二 14. 18. * * 矩形域上的拉普拉斯方程 考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边 (x=0, x=a) 始终保 持零度, 另外两边 ( y=0, y=b) 的温度分别为 f(x) 和 g(x) , 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 解：用 u(x, y) 表示板上 (x, y) 点处的温度。定解 问题为： 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 (2.3.3)看作(齐次) 边界条件。 设 且 代入方程 (2.3.1), 分离变量得 由边界条件可以知道：X(0)=X(a)=0，也就是说 这个常微分方程的特征值和特征函数分别为： 代入到关于 y 的方程 得到 Y(y) 的 一组解： 从而得到方程(2.3.1)满足条件(2.3.3)的一组特解： 方程(2.3.1)和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由叠加原理 仍满足方程(2.3.1)和条件(2.3.3)。 考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得 提示：将第三式看作边界条件。 圆域上的拉普拉斯方程 考察一个半径为 的圆形薄板，板的上下两面绝热，圆周边缘的温度为已知函数 且 求稳恒状态下的温度分布规律。 解：稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。 由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取极坐标变换： 用 表示圆形板内 点的温度，则问题 可以转换（如何转化？）为解定解问题： 自然边界条件 周期性条件 设方程(2.3.4)满足条件 (2.3.5)—(2.3.7)的解为: 代入到原方程得: 分离变量,令其比值为常数 由此得到两个常微分方程: 由自然边界条件和周期性条件知： 于是得到两个常微分方程的定解问题： 由于条件 满足可加性, 所以先考虑 结合周期条件，可得 特征值 下面解方程 Euler 方程 特征 函数 通解为 为了保证 必须有 利用叠加原理，方程(2.3.4)满足条件(2.3.5)—(2.3.7)的解可表示为: 应用条件 注1: 经过化简, 方程的解可以表示为 上式称为圆域内的泊松公式. 注2: 半圆域、扇形域、圆环域等区域上的 拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。 例：解定解问题 解: 直接利用公式， 注意到三角函数的正交性质, 可得 因此解为 特征值 特征函数