第6章_行列式、矩阵与线性方程组.docVIP

第6章　行列式、矩阵与线性方程组 本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。 在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。 ６．１　n阶行列式及性质 行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具． 6.1.1 二阶行列式 二元线性方程组的一般形式是 　　　　　　　　　　 利用消元法求解： 　　，得　　． 　　，得　　． 　　当时，方程组的解为　　　　． 　　在二元线性方程组的解的表达式中，、的解的分母都是．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号来表示，即 ＝ (6-1) 在中，、、、是方程组中、的系数，它们按原来的位置排成一个正方形． 　　我们称为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，（；）称为二阶行列式第行第列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式． 　　显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。 　　二阶行列式按如下方法展开（图6-1）： 图6-1 二阶行列式展开方法 实对角线（叫做主对角线）上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式．这种展开行列式的方法称为对角线展开法． 　　由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值．求二阶行列式的值可用对角线展开法． 　　例6-1　计算下列二阶行列式的值： ⑴；　　　⑵． 　　解：⑴； 　　　　⑵． 根据对角线展开法，我们再来解决前面给出的二元线性方程组求解的另一种方法。有：对应于、解的分母和分子的表达式,联系二阶行列式的展开形式,得到如下： =， =． 　　记： ，，， 由于行列式是由方程组中未知数的系数按原来的顺序排列而成，故称为系数行列式．显然，行列式、是以、分别替换行列式中的第一列、第二列的元素所得到．因此，当时，方程组的解可表示为： ， (6-2) 　　例6-2　解方程组 ． 　　解：方程组化为一般形式： ． 因为　，，， 所以，根据(6-2)式，方程组的解为： ，． 　　6.1.2 三阶行列式 　　三元线性方程组的一般形式为 与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为 其中分母． 　　式比较繁杂，为了便于记忆与讨论，仿照二阶行列式，用记号来表示，即 ＝ (6-3) (6-3)式的左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式． 显然，三阶行列式有三行和三列，共个元素，其中（；）是三阶行列式第行第列的元素．三阶行列式的展开式有3!项． 三阶行列式的展开可按如下方法展开（图6-2）： 图6-2 三阶行列式展开方法 实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加就是行列式的展开式，这种展开法则叫做对角线法则． 　　例6-3　计算行列式的值． 　　解： ． 　　例6-4　展开行列式． 　　解： ． 　　与二阶行列式相似，用三阶行列式来求解三元线性方程。引入记号、、、，其中 ，，，． 行列式是由方程组中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式、、是以、、分别替换行列式中的第一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当时，方程组的解可表示为： ，， (6-4) 　　例6-5　解方程组． 　　解：方程组化为一般形式： 因为　，， ，， 所以，根据(6-4)式，方程组的解为： ，，． 6.1.3 n阶行列式 为了定义n阶行列式及学习行列式的展开定理，我们先介绍代数余子式的概念． 定义6.1　将行列式中第行第列的元素所在行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素的余子式，记作