立体图形与路径最短.ppt

5 4 3 A B 在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ 问题情境一 思维分析 1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同点呢？ 和A相连的面是左面、前面和下面； 和B相连的面是上面、右面和后面. 共有六种不同的选择路径 这六种不同选择的路径大小相同吗？ 思维方法和过程 A点 前面 左面 下面 上面 右面 后面 B点 5 4 3 A B 5 4 3 A B B 情况一 展开前面和右面，连接AB，此时路径最短. 5 4 3 A B B 情况二 展开前面和上面，连接AB，此时路径最短. 5 4 3 A B B A 情况三 展开左面和上面，连接AB，此时路径最短. 比较和总结 比较三种情况的最短路径 且另三种情况与上述三种情况结果分别相同 因此爬行的最短路径为 知识准备 1、什么是线段公理？ 两点之间，线段最短 2、勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则 a2+b2=c2. A B 问题情境一 在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ A B 问题解决 从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径. 最短路径： 在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ A B 问题情境二 A B 问题解决 从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径. 最短路径： A B 问题情境三 在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ 思维分析 1、问题一和问题三的区别在哪儿？ 问题一指明在侧面爬行；问题三没有说明. 2、问题三没有指明侧面会发生什么变化？ 可能出现2种情况：①在侧面爬行②沿A向上再沿上底面直径爬行到B A B 情况一解决 从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径. 最短路径： 情况二解决 A B B 如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径. 最短路径为：4 比较选择最短路径 两个最短路径 和4哪一个最小呢？ 比较大小： 因此最短路径为侧面爬行的 是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？ 高和底面半径换一些数据试一试. A B 延伸问题四 在底面半径为r、高为h的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ A B 情况一 从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径. 最短路径： 情况二解决 A B B 如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径. 最短路径为：h+2r 比较与总结 比较 和 h+2r的大小 =h+2r A B C 问题情境一 如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少? A B C B’ 思维分析 圆锥的侧面展开图如图所示，连接BB‘，则BB’为蚂蚁爬行的最短路径. A B C 4 1 B’ 解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∴ △ABB’是直角三角形 ∴ ∠BAB’= ∵ 圆锥底面半径为1, 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线， ∴ 弧BB’的长度即为底面圆的周长2 π， 问题解决 ∴ BB’= 答:蚂蚁爬行的最短路线为 . 2π 4 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ A B C 问题情境二 将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ 问题解决 B A 问题情境一 在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行） 思维点拨 1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径最短问题？ 2、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？ 3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面有哪几个？ 4、最短路径要走几