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十一章：从艺术中诞生的科学：射影几何 学科教学 高凌宇 从透视到射影几何 射影几何的早期发展与繁荣 射影几何的原理 目 录 射影几何的绘图应用 射影几何对中学教学的启示 　　　（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ 　 （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 从透视到射影几何 从透视到射影几何 　　　由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 从透视到射影几何 　　　　数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 射影几何的早期发展 1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 德沙格（1591-1661） 射影几何的早期发展 　　　　德沙格定理 射影几何的早期发展 　如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上 　　　德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 　　1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 　　2）变换与变换不变性 　　3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 射影几何的早期发展 　　　　蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867） 射影几何的繁荣 加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家。 　　　19世纪前半叶： 庞斯列（1788~1867,P-J.Poncelet）是射影几何的主要奠基人。 在公元1822年，完成了一部理论严谨、构思新颖的巨著——《论图形的射影性质》。这部书的问世，标志着射影几何作为一门学科的正式诞生。 射影几何的繁荣 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。 zzzzzzzzz 射影几何概述 射影几何原理 连续性原理 对偶原理 zzzzzzzzz 射影几何原理 射影几何原理 射影几何原理 原理一：连续性原理：通过投影或者其他方法把某一图形变换成另一个图形的过程中的集合不变性。 A B C D S D S C B A 射影几何原理 射影几何原理 原理二：对偶原理：在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形 。如果在它涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理。例如考虑著名的帕斯卡定理和布里昂雄定理： 射影几何原理 射影几何原理 帕斯卡定理： 对于任意内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。 射影几何原理 射影几何原理 它的对偶形式则是：对于任意一个外切于非退化的二级曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线交于一点 射影几何原理 F A B C D E 射影几何原理 这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。 　1872年，德国数学家F·克莱因(Felix Klein)在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。 射影几何原理 绘制地图 射影几何绘图应用