同济第三版-高数-(2.2) 第二节 函数求导法则.同济第三版-高数-.ppt

用导数研究函数先要解决导数计算问题。 然而，即使对于最简单的基本初等函数，按定 义计算其导数也不尽方便。由于初等函数由基 本初等函数经由四则运算和复合运算构成，故 可通过对导数的四则运算和复合运算规则的研 究来解决导数的计算问题。 设有函数 u( x ) 和 v( x )，常数 ? 和 ? ，称 ? u( x )+ ? v( x )为这两个函数的线性组合。 函数的线性组合是函数间的一种 运算，即线性运算。微积分所讨论 的函数性质许多都是和这种线性运 算相关的性质。理解这种运算对理解 微积分的基本内容是很有意义的。 定理 1 函数线性组合的求导法则 如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则它们的 线性组合 f( x )= ? u( x )+ ? v( x )也在点 x 处可导，且导 数为 f ?( x )= ? u ?( x )+ ? v ?( x ). 设 f( x )= ? u( x )+ ? v( x )，则由根据导数定义有 故 f( x )在点 x 处可导，且 f ?( x )= ? u ?( x )+ ? v ?( x ). 根据导数定义证明 定性结果：两可导函数的线性组合也是可导的； 定量结果：函数线性运算的求导法则。 需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )， v = v( x )都可导的条件下导出的， 若此条件不满足，则结论未必成立。 定理 1 的结论分定性和定量两个部分 函数线性运算的求导法则可推广到有限个函数的 情形，即若 u = u k( x )在点 x 处都可导，? k 为常数 ， ( k = 1,2, …,n )，则函数 f( x )= ? 1 u1( x )+ ? 2 u2( x )+ …+ ? n un( x ) 在点 x 处可导，且有 f ?( x )= ? 1 u?1( x )+ ? 2 u ?2( x )+ …+ ? n u ?n( x ). 线性运算求导法则的推广 由定理 1 容易得到如下三个推论： 如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则函数 u( x )+ v( x )也在点 x 处可导，且导数为 [ u( x )+ v( x )]?= u ?( x )+ v ?( x ). 如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则函数 u( x )- v( x )也在点 x 处可导，且导数为 [ u( x )- v( x )]?= u ?( x )- v ?( x ). 推论 1 函数和的求导法则 推论 2 函数差的求导法则 如果函数 u( x )都在点 x 处可导，? 为常数 ，则函 数 ? u( x )也在点 x 处可导，且导数为 [ ? u( x )]?= ? u ?( x ). 推论 3 常数因子可从求导函数中提出 例：设 f( x )= 2 x 3 - 5 x 2 + 3 x - 7，求：f ?( x ). 这是个三次多项式的求导问题，由于多项式仅 由加法运算及数乘运算构成，因此可根据导数的线性运 算法则求该函数的导数。 f ?( x )=( 2x 3 - 5 x 2 + 3x - 7 )? =( 2x 3 )?-( 5 x 2 )?+( 3x )?-( 7 )? = 2( x 3 )?- 5( x 2 )?+ 3( x )?-( 7 )? = 2 ? 3 x 2 - 5 ? 2 x + 3 ? 1 - 0 = 6 x 2 - 10 x + 3 . 根据求导线性运算法则计算 例：设 求：f ?( 1 ). 这是个导函数与相应导数值的计算问题。 对这类问题，一般宜先根据导数运算法则求出导函 数，再由导数值与导函数的关系计算导数值。 根据导数值与导函数的关系计算 根据导数线性运算规则求导函数 由导数值与导函数的关系求导数值 定理 2 函数乘积的求导法则 如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则函数 f( x )= u( x )? v( x )也在点 x 处可导，且导数为 f ?( x )= u ?( x )? v( x )+ u( x )? v ?( x ). 根据导数定义证明