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《几何画板》在立体几何解题中的应用 河南省濮阳市油田三高数学组 乔晓军 邮编：457001 摘要：《几何画板》是一个优秀的教育教学平台软件，它功能强大，能动态表现相关对象的关系，是21世纪的动态几何。用《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，十分有利于培养学生的空间想象能力。同时也改变了教师教学的传统模式。 关键字：几何画板The GeometerS Sketchpad 立体几何solid geometry 解题solve problems 正文： 《几何画板》适宜教师根据教学的需要制作课件或课件片断，并应用于教学，从而优化课堂教学结构，提高教学质量，也有利于培养学生的空间想象能力和激发学生学习立体几何的兴趣。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。 应用《几何画板》将图形动起来，可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系更具立体感，使学生从各个不同的角度去观察空间图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。 那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？笔者只想在教师授课过程中给学生讲解例题或习题方面阐述《几何画板》的优势。 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，画出直线A1P与平面ABCD的交点Q。 [分析]：在画此图时，很多同学由于立体感不强，很容易认为直线 A1P与DC的延长线相交于点Q，从而得到错误答案。 实际上，我们利用《几何画板》就很容易让学生明白 其实这两条直线根本就不相交：（做法如下） 先画一个圆，并在圆上通过旋转900取四个点， 使他们构成一个正方形；（如图1） （2）然后利用做椭圆的方法，分别作出四个点的对应点；（如图2） （3）把连线得到的四边形向竖直方向平移适当的距离，就得到一个正方体。（如图3） （4）拖动带有“转动”字样的点到适当的位置，就可看出A1P与DC的关系。（如图4） [正确做法]：连接AC，并延长，它与A’P的延长线相交于一点。这一点就是直线A1P与平面ABCD的交点Q。（如图5） [点评]这种题目看起来很简单，但对于很多立体几何的初学者来说并不能马上可以弄清 图中的元素：点、线、面的位置关系，我们借助《几何画板》能给学生提供一种更为简 洁、明了的方式帮助学生建立空间概念，有助于激发学生学习立体几何的兴趣。 2.一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点，可以确定几个平面？ [分析]：解决此题时，直接作图验证不是很容易。只有靠学生的空间想象能力。但我们在讲解此题时用几何画板作图给学生演示则一目了然！ [做法]：由于题目提供的是任意一条直线和直线外任意不共线三点，我们可把直线和点选在一个如上题做好的正方体中，可分如下三种情况： （1）假设A，B，C三点中任何两点与直线l不共面（如图1），我们分别作出直线l与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定四个平面（包括平面ABC）； （2）假设其中两点与l共面，不妨设A，B与l共面（如图2），我们分别作出直线l与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定三个平面（包括平面ABC）； （3）当三点与直线同在一个平面内，则可以确定一个平面（平面ABC）。 综上，一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点，可以确定4个、3个或1个平面。 [点评]这种题目如果不采用图示的方式去理解，那么心中往往会有疑虑：所作的平面是否会重合？这时我们可以采用“反证法”来逐一证明，但非常繁琐！我们可以利用《几何画板》的强大的动画功能，让所作的平面转动起来，所作的平面是否重合在转动过程中一目了然。这样，讲解更简单、作图更直观、学生的印象更深刻！ 3.求点A(2,-3,-1)关于坐标平面xoy和xoz以及坐标原点的对称点坐标。 [分析]：由于这是在空间直角坐标系下的对称问题，徒手作图也是比较困难。但利用几何画板作图演示对学生的理解很有帮助。 [做法]：（1）先建立空间直角坐标系（如图1）； （2）作出A点（如图2）； （3）作出坐标平面xoy和xoz（如图3）； （4）分别作出点A关于坐标平面xoy和xoz以及关于坐标原点的对称点A’，A’’，A’’’。 （5）拖动点“移”可使坐标系水平旋转；拖动点“翻”可使坐标系上下转动。能使图形更具有立体感，对学生的理解更有帮助。 （6）观察图形可知A’(2,-3,1), A’’(2,3,-1),A’’’(-2,3,1)。 [点评]三维坐标系的学习本身就是个难点，在坐标系中确定点的坐标或位置更是很多学生的薄弱之处。但我们可以通过《几何画板